16/07/2018, 03:23:42 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a aladan
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Polinomio característico.  (Leído 167 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
zimbawe
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Colombia Colombia

Mensajes: 300


Ver Perfil
« : 13/07/2018, 05:26:51 pm »

Hola, tengo una pregunta. ¿Cuál es en general la relación entre el polinomio característico de [texx]AB[/texx] y [texx]BA[/texx]?
En línea
zimbawe
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Colombia Colombia

Mensajes: 300


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 13/07/2018, 07:57:23 pm »

Ya encontré algo al respecto, gracias.
En línea
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 215


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 14/07/2018, 06:02:58 am »

Hola Zimbawe.

¿Y qué fue lo que encontraste? Yo he estado dándole vueltas y no he sacado nada.

Saludos y gracias. 
En línea
Fernando Revilla
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 10.151


Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


Ver Perfil WWW
« Respuesta #3 : 14/07/2018, 06:09:48 am »

¿Y qué fue lo que encontraste? Yo he estado dándole vueltas y no he sacado nada. 

Mira el apartado 1 de Formas de Jordan de [texx]AB[/texx] y [texx]BA[/texx].
En línea

martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 215


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 14/07/2018, 06:25:40 am »

Hola.

¿Y qué fue lo que encontraste? Yo he estado dándole vueltas y no he sacado nada. 

Mira el apartado 1 de Formas de Jordan de [texx]AB[/texx] y [texx]BA[/texx].

Estupendo, muchas gracias. Todo aclarado. Muy hábil jugada.

Saludos.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.983



Ver Perfil
« Respuesta #5 : 14/07/2018, 06:56:31 am »

Hola, tengo una pregunta. ¿Cuál es en general la relación entre el polinomio característico de [texx]AB[/texx] y [texx]BA[/texx]?

Supongo que habrá que usar la semejanza de matrices para AB y BA.

Quizá también se puede ver con el teorema de Hamilton-Cayley (o Cayley-Hamilton).

Su enunciado es muy sencillo, dice que si tienes un cierto polinomio característico asociado a una matrzi “M”, por ejemplo, éste

[texx]\lambda^{3}+a\lambda^{2}+b\lambda+c=0
 [/texx]

Entonces

[texx]M^{3}+aM^{2}+bM+cI=(0)=matriz\ cero
 [/texx] donde I es la matriz indentidad y a,b,c son los mismos coeficientes que en el anterior polinomio.

Sabiendo esto, hagamos ahora [texx]\lambda=xy
 [/texx] por una parte y [texx]\lambda=yx
 [/texx] por otra. Si operamos respetando los lados (como si fueran matrices, sin usar la conmutativa) es trivial admitir que llegaremos a que [texx]P(\lambda)=P(xy)=P(yx)
 [/texx], pues se trata del mismo escalar escrito de otra forma y operar así, como si fueran matrices, no puede cambiar el resultado (podemos meternos en “despejes” y entretenernos un rato con el juego algebraico, que siempre está muy bien y es provechoso y divertido, pero estamos seguros de que tiene que ser así).

Por tanto, por el teorema de Cayley-Hamilton, tendrá que ocurrir también que [texx]P(M)=P(AB)=P(BA)
 [/texx]; me atrevo a asegurarlo sin miedo.

Saludos.
En línea

martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 215


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 14/07/2018, 07:55:24 am »

Hola feriva.

Ciertamente puedes asegurar sin miedo que ambas matrices tienen el mismo polinomio característico. Tienes una demostración en el enlace sugerido por Fernando Revilla. Échale un vistazo porque es muy buena.

Tu demostración no me gusta demasiado. Ten en cuenta que el producto de mstrices no es conmutativo, y que el hecho de que una matriz anule un polinomio, no quiere decir que ése sea su polinomio característico. Es muy fácil encontrar contraejemplos, piénsalo.

Saludos.  :guiño:
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.983



Ver Perfil
« Respuesta #7 : 14/07/2018, 08:37:39 am »

Hola feriva.


Tu demostración no me gusta demasiado. Ten en cuenta que el producto de mstrices no es conmutativo, y que el hecho de que una matriz anule un polinomio, no quiere decir que ése sea su polinomio característico. Es muy fácil encontrar contraejemplos, piénsalo.

Saludos.  :guiño:

Hola, martiniano.

Con eso no quería recomendar a Zimbawe que no hiciera las operaciones, sólo que yo no veo peligro en lo que digo (pero, como me equivoco mucho, esto no quiere decir que no lo haya, no digo que no).

No parto de las matrices, sino del polinomio normal en lambda, con escalares. Lambda es una variable tal que existen infinitos representantes x,y que cumplen todos, [texx]\lambda=xy
 [/texx]; existen y da igual cuáles puedan ser tomados, porque en todo caso se cumple [texx]xy=yx[/texx], la cuestión es que ese producto toma el valor de lambda (que no es un vector ni una matriz).

Ahora supongamos que yo opero con ambas cosas, (xy) y (yx), como si fueran matrices (sin serlo). ¿Podría existir la posibilidad de que me saliera [texx]P(xy)\neq P(yx)
 [/texx]? Eso es lo mismo que preguntar que si me puede salir [texx]P(\lambda)\neq P(\lambda)
 [/texx] por culpa de operar sin la conmutativa. Yo creo que es bastante obvio que no (pero “obvio es una palabra peligrosa, es verdad). Si fuera al revés, usando matrices y operando como si no lo fueran, sí, ahí sí puede salir mal.

Por tanto, doy por hecho que operando eso como si fueran matrices me seguirá saliendo en todo caso [texx]P(xy)=P(yx)
 [/texx]; ahí está mi confianza.

Tal afirmación, aisladamente, no me da seguridad todavía, pero tengo el teorema de Cayley-Hamilton, donde puedo cambiar las (xy) y (yx) por (AB) y (BA) y operar exactamente igual; y, como sólo son letras distintas... tendrá que pasar igual, [texx]P(AB)=P(BA)
 [/texx], porque si pudiera pasar [texx]P(AB)\neq P(BA)
 [/texx] también existiría la misma posibilidad para lo otro, [texx]P(xy)\neq P(yx)
 [/texx], lo que implicaría la posibilidad de una imposibilidad: [texx]P(\lambda)\neq P(\lambda)
 [/texx].

*(Pero también reconozco que si no fuera porque he hecho unas cuentas para mirarlo no me hubiera atrevido a decirlo :cara_de_queso: )

Saludos.
En línea

martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 215


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 14/07/2018, 12:36:15 pm »

Hola feriva.

Lamento no haberme acordado en el mensaje de antes de agradecer tu aportación. Bueno, lo hago ahora. En fin, más vale tarde que nunca  :sonrisa:.

Lo que sucede es que hay cosas que no acabo de ver. Se me debe estar escapando algo...

Por tanto, doy por hecho que operando eso como si fueran matrices me seguirá saliendo en todo caso [texx]P(xy)=P(yx)
 [/texx]; ahí está mi confianza.

Esto último, es en general falso si x e y son matrices, ¿no? Basta que tomes el polinomio identidad para verlo. Es cierto si P es el polinomio característico de [texx]xy[/texx], ya que, debido precisamente a lo que queremos demostrar y al teorema de Cayley-Hamilton que tú mismo citas se tiene que: [texx]P(xy)=P(yx)=0[/texx]

si pudiera pasar [texx]P(AB)\neq P(BA)
 [/texx] también existiría la misma posibilidad para lo otro, [texx]P(xy)\neq P(yx)
[/texx]

Esta última afirmación no la entiendo, ¿te importaría detallarla un poco?. Doy por hecho que [texx]A [/texx] y [texx]B [/texx] son matrices y [texx]x [/texx] e [texx]y[/texx] escalares. Vuelvo a remarcar que es cierta para polinomios particulares, pero falsa en general por lo que ya he dicho, ¿qué opinas tú?.

Saludos, y gracias.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.983



Ver Perfil
« Respuesta #9 : 14/07/2018, 02:55:42 pm »

Hola feriva.

Lamento no haberme acordado en el mensaje de antes de agradecer tu aportación. Bueno, lo hago ahora. En fin, más vale tarde que nunca  :sonrisa:.

Lo que sucede es que hay cosas que no acabo de ver. Se me debe estar escapando algo...

Por tanto, doy por hecho que operando eso como si fueran matrices me seguirá saliendo en todo caso [texx]P(xy)=P(yx)
 [/texx]; ahí está mi confianza.

Esto último, es en general falso si x e y son matrices, ¿no? Basta que tomes el polinomio identidad para verlo. Es cierto si P es el polinomio característico de [texx]xy[/texx], ya que, debido precisamente a lo que queremos demostrar y al teorema de Cayley-Hamilton que tú mismo citas se tiene que: [texx]P(xy)=P(yx)=0[/texx]

si pudiera pasar [texx]P(AB)\neq P(BA)
 [/texx] también existiría la misma posibilidad para lo otro, [texx]P(xy)\neq P(yx)
[/texx]

Esta última afirmación no la entiendo, ¿te importaría detallarla un poco?. Doy por hecho que [texx]A [/texx] y [texx]B [/texx] son matrices y [texx]x [/texx] e [texx]y[/texx] escalares. Vuelvo a remarcar que es cierta para polinomios particulares, pero falsa en general por lo que ya he dicho, ¿qué opinas tú?.

Saludos, y gracias.

Soy yo quien te agradezco que tomes en consideraciones mis cosas, tan poco formales y poco serias :sonrisa:

...

Sí, haré un esfuerzo por explicarme mejor; aunque ya digo que me convence a mí, yo lo “veo” (o creo verlo) pero no pretendo que me lo admitas como demostración; (por supuesto, la de Fernando es muy cortita, fácil y no requiere esfuerzos ni intuiciones, todo esto que digo sobra).

Si operamos los polinomios de matrices (característicos, se entiende) llegaremos a saber si son iguales o no: o sea, si ocurre [texx]P(AB)=P(BA)
 [/texx] ó [texx]P(AB)\neq P(BA)
 [/texx]; sin operar sabemos que se puede resolver (quede esto como proposición)

Además, por Cayley-Hamilton sabemos que existen los polinomios característicos de (AB) y (BA) asociados a los autovalores de cada matriz; el del “lambda” de (AB) tiene los mismos coeficientes que el de la [texx](AB)[/texx] y el de [texx](BA)[/texx] los mismos que el de la [texx](BA)[/texx]; son los mismos perros con otros collares.

Ahora dejamos esto a aparte, nos olvidamos un poco de momento.

Consideramos unos polinomios en lambda y beta (con escalares) tales que [texx]\lambda=(xy)
 [/texx] y [texx]\beta=(yx)
 [/texx]. En este caso sabemos de antemano que, operemos como operemos, con conmutativa o sin ella (siempre que operemos sin errores) tendremos que tener [texx]P(xy)=P(yx)\Rightarrow P(\lambda)=P(\beta)
 [/texx]. Como máximo y a modo de objeción, puedo admitir que, si operara sólo con las propiedades de las matrices, podría ocurrir que no llegara a resolver el problema algebraicamente por falta de herramientas, al dejar de usar alguna propiedad de los cuerpos. Sin embargo, si hemos admitido la primera proposición (que había hecho para el caso de las matrices) habrá que admitir que aquí también podremos resolver el problema algebraicamente, que no faltarán herramientas para llegar al final (porque es exactamente lo mismo con otras letras, y las letras no saben si son matrices o escalares, podemos hacer lo mismo con unas que con otras; tan sólo son elementos que soportan operaciones o propiedades comunes y alguna no común).

A partir de ahí yo afirmo (que no demuestro) sólo si pudiera ocurrir [texx]P(xy)\neq P(yx)\Rightarrow P(\lambda)\neq P(\beta)
 [/texx], con estas letras, podría ocurrir también con las otras.

Saludos.
En línea

martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 215


Ver Perfil
« Respuesta #10 : Ayer a las 02:58:58 am »

Hola feriva, aquí estamos  :sonrisa:

Si operamos los polinomios de matrices (característicos, se entiende) llegaremos a saber si son iguales o no: o sea, si ocurre [texx]P(AB)=P(BA)
 [/texx] ó [texx]P(AB)\neq P(BA)
[/texx]

Entiendo que llamas [texx]P[/texx] al polinomio característico de [texx]AB[/texx]. Lo que pasa es que el hecho de que [texx]P(AB)=P(BA)[/texx] no quiere decir que [texx]AB[/texx] y [texx]BA[/texx] tengan el mismo polinomio característico. Es al revés. Si AB y BA tienen el mismo polinomio característico, y este es P, entonces por el teorema de Cayley-Hamilton [texx]P(AB)=P(BA)=0[/texx], ¿no te parece?

Además, por Cayley-Hamilton sabemos que existen los polinomios característicos de (AB) y (BA) asociados a los autovalores de cada matriz; el del “lambda” de (AB) tiene los mismos coeficientes que el de la [texx](AB)[/texx] y el de [texx](BA)[/texx] los mismos que el de la [texx](BA)[/texx]; son los mismos perros con otros collares.

Lo siento, pero aquí me he perdido. No entiendo nada de lo que está en rojo, y diría que lo que está en azul se puede ahorrar.

A partir de ahí yo afirmo (que no demuestro) sólo si pudiera ocurrir [texx]P(xy)\neq P(yx)\Rightarrow P(\lambda)\neq P(\beta)
 [/texx], con estas letras, podría ocurrir también con las otras.

Creo que quieres decir que todo esto es aquello con lo que has logrado intuir que lo que había que hacer era demostrar que la relación que nos pedía el enunciado era que ambos polinomios son iguales.

Bien, el proceso mediante el que llegamos a resolver un problema matemático es algo muy interesante. Por si te interesa el tema te diré que yo también sospechaba, antes de ver la demostración de Fernando, que eso era lo que había que demostrar (que ambos polinomios eran iguales) y lo que me indicaba a mí eso era que:

1) Para para matrices de orden 2 los coeficientes del polinomio característico son la traza y el determinante. Sabía de antes que [texx]traza(AB)=traza(BA)[/texx] y que [texx]det(AB)=det(BA)[/texx]

2) Si [texx]A[/texx] (o [texx]B[/texx]) es regular entonces [texx]AB[/texx] y [texx]BA[/texx] son semejantes, ya que: [texx]AB=(AB)(AA^{-1})=A(BA)A^{-1}[/texx]  y por tanto tienen el mismo polinomio característico.

Pero éstos eran casos particulares que me permitían intuir lo que había que hacer, no concluían nada general (el segundo punto se quedaba muy cerca... Pero el enunciado no decía nada sobre la regularidad de A ni de B)

Saludos y gracias.  :guiño:
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.983



Ver Perfil
« Respuesta #11 : Ayer a las 08:21:39 am »

Hola, Martiniano, buenos días.

Comprendo que mi forma de hablar es horrorosa a la hora de explicarme con conceptos teóricos. Ten en cuenta que yo sé poco de esto.




Además, por Cayley-Hamilton sabemos que existen los polinomios característicos de (AB) y (BA) asociados a los autovalores de cada matriz; el del “lambda” de (AB) tiene los mismos coeficientes que el de la [texx](AB)[/texx] y el de [texx](BA)[/texx] los mismos que el de la [texx](BA)[/texx]; son los mismos perros con otros collares.

Lo siento, pero aquí me he perdido. No entiendo nada de lo que está en rojo, y diría que lo que está en azul se puede ahorrar.

Es horrible, sí, perdóname; lo que quiero decir, un profesor mío lo decía así: “toda matriz verifica su polinomio característico”

Entonces, si tenemos dos polinomios, [texx]P(M)
 [/texx] con “M” asociada al autovalor [texx]\lambda
 [/texx]; y otro polinomio [texx]P(Q)
 [/texx] con “Q” asociada al autovalor [texx]\beta
 [/texx], ocurrirá que si [texx]P(M)=P(Q)
 [/texx], entonces existen los polinomios en lambda y beta que, además, son iguales: [texx]P(\lambda)=P(\beta)
 [/texx].

Esto es consecuencia de Cayley-Hamilton, pues si [texx]P(M)
 [/texx] verifica [texx]P(\lambda)
 [/texx] (o sea, tiene los mismos coeficientes) y, análogamente, [texx]P(Q)
 [/texx] verficia [texx]P(\beta)
 [/texx], es obvio que [texx]P(M)=P(Q)
 [/texx] implica [texx]P(\lambda)=P(\beta)
 [/texx].

Si ahora hago [texx]P(\lambda)=P(xy)
 [/texx], pues puedo reescribir la implicación con [texx]P(xy)[/texx]

Del mismo modo, nada impide descomponer “M” en el producto de dos matrices [texx]P(M)=P(AB)
 [/texx].

Ahora, sabemos con seguridad que, dado eso, si [texx]P(\lambda)=P(\beta)
 [/texx] entonces [texx]P(xy)=P(\beta)=P(yx)
 [/texx].

Con las otras letras no sabemos si [texx]P(AB)=P(Q)=P(BA)
 [/texx], pero sí vemos el paralelismo que se plantea a partir de Cayley-Hamilton (o, por lo menos yo, creo verlo claro).

Son letras en ambos casos, símbolos que no pueden influir en una conclusión teórica matemática; por ejemplo, a mí lo mismo me da llamar a esto “1” y a esto otro “I” que decirlo con el mismo símbolo: [texx]N_m[/texx]; (algo que me invento yo para indicar el “neutro multiplicativo). Opero igual esto [texx]n\cdot\dfrac{1}{n}=1
 [/texx] que esto [texx]AA^{-1}=I
 [/texx] (siempre y cuando tengamos elemento inverso para las dos cosas; que eso es importante y se le había olvidado a Zimbawe en el enunciado).

Cierto es que con escalares tengo alguna propiedad que no puedo utilizar, puedo hacer [texx]ab=ba
 [/texx] y, sin embargo, no puedo hacer [texx]AB=BA
 [/texx]; pero esto quiere decir que los elementos del cuerpo tienen una propiedad más, no una propiedad menos. Así, si yo puedo demostrar algo para “AB”, usando las propiedades comunes, también lo podré demostrar para “ab”, porque no influye en nada que ocurra “ab=ba” y lo único que cambia es la pura estética, la escritura; en vez de mayúsculas pongo minúsculas.

Por ejemplo, tenemos esto que ponías por ahí [texx]AB=(AB)(AA^{-1})=A(BA)A^{-1}
 [/texx], donde se está usando principalmente la asociativa y el elemento inverso. En Marte, “A” es un escalar en vez de una matriz; entonces con números que elijo arbitrariamente vemos que funciona igual: a=5; B=3.

[texx]5*3=(5*3)(5*5^{-1})=5(3*5)*5^{-1}
 [/texx]

Lo mismo sale en Marte que en la Tierra. Cierto que en Marte podrían escribir la inversa así [texx]\dfrac{I}{A}
 [/texx], lo cual, según lo entendemos nosotros en la Tierra, no tiene sentido porque no se pueden dividir matrices; pero.. y ¿qué más da, si con ambas cosas, números o matrices, se puede usar la potencia “-1”y tenemos una operación común que con letras mayúsculas o minúsculas funciona exactamente igual?

Decía “afirmo, que no demuestro”, porque de puro obvio que lo veo no lo puedo demostrar; no sé cómo explicarlo, si me dicen que demuestre que “uno se escribe 1” tampoco puedo, no puedo demostrar nada relacionado con la estética de la escritura, sólo las cosas relacionadas con propiedades. Del mismo modo, no puedo demostrar el paralelismo que veo a través del teorema de Cayley Hamilton, simplemente lo puedo intentar explicar, intentar decir por qué lo veo; pero entiendo perfectamente que pueda no convencer.

Estoy de acuerdo, naturalmente, en que las cosas hay que demostrarlas de forma general y operativamente, como en el enlace que pone Fernando; esto mío es puro divertimento sin más pretensión :sonrisa: (y reconozco que puedo dejar de estar viendo cosas que no veo)

Saludos.
En línea

Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!