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Autor Tema: Pegado de variedades diferenciales  (Leído 706 veces)
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FabricioEF
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« : 12/07/2018, 06:23:44 pm »

Hola a todos, tengo el siguiente problema a resolver. Hice bastante, pero hay un lugar donde me trabo y no puedo continuar.

Sea [texx]I\subset{\mathbb{N}}[/texx], y sea [texx](M_i)_{i\in{I}}[/texx], una familia numerable de variedades diferenciales, de dimensión [texx]n\in\mathbb{N}[/texx]. Supongamos que para cada par de índices [texx]i[/texx], [texx]j[/texx] en [texx]I[/texx] (con [texx]i\neq{j}[/texx]) están dados los conjuntos abiertos [texx]U_{ij}\subseteq{M_i}[/texx] y [texx]U_{ji}\subseteq{M_j}[/texx], y un difeomorfismo [texx]f_{ij}:U_{ij}\longrightarrow{U_{ji}}[/texx], tales que:

* [texx]f_{ji}=f_{ij}^{-1}[/texx]                                             [texx](1)[/texx]
* [texx]f_{ij}(U_{ij}\cap{U_{ik}})=U_{ji}\cap{U_{jk}}[/texx]                    [texx](2)[/texx]
* [texx]f_{ik}=f_{jk}\circ{f_{ij}}[/texx] en [texx]U_{ij}\cap{U_{ik}}[/texx]                   [texx](3)[/texx]

Mostrar que existe una variedad diferencial [texx]M[/texx] y morfismos [texx]\psi_i:M_i\longrightarrow{M}[/texx], difeomorfismos entre cada variedad [texx]M_i[/texx] y una abierto de [texx]M[/texx], y una vez hecho esto probar que:

* Los abiertos [texx]\psi_i(M_i)[/texx] cubren [texx]M[/texx]
* [texx]\psi_i(U_{ij})=\psi_i(M_i)\cap{\psi_j(M_j)}[/texx]
* [texx]\psi_i=\psi_j\circ{f_{ij}}[/texx] en [texx]U_{ij}[/texx].



Paso a detallar lo que hice hasta el momento, si algo está mal aclárenmelo por favor. Buscamos pegar las variedades que nos dan en el dato y obtener una variedad resultante [texx]M[/texx], y de este modo, el difeomorfismo [texx]f_{ij}[/texx] se va a encargar de pegar un punto [texx]x_i[/texx] de la variedad [texx]M_i[/texx] con el correspondiente [texx]x_j[/texx] de la variedad [texx]M_j[/texx]. La condición [texx](1)[/texx] implica que el pegado de un punto de una variedad con un punto de otra es una biyección (pegar [texx]x_i[/texx] con [texx]x_j[/texx] es lo mismo que pegar [texx]x_j[/texx] con [texx]x_i[/texx]), la condición [texx](2)[/texx] implica que la intesección de dos abiertos de [texx]M_i[/texx] (llamémoslos [texx]U_{ij}[/texx] y [texx]U_{ik}[/texx]) se mapea a través de [texx]f_{ij}[/texx] en la intersección de los análogos en [texx]M_j[/texx] (llamémoslos [texx]U_{ji}[/texx] y [texx]U_{jk}[/texx]). La condición [texx](3)[/texx] por último, implica que pegar [texx]x_i\in{M_i}[/texx] con [texx]x_k\in{M_k}[/texx] es lo mismo que pegar [texx]x_i[/texx] con [texx]x_j\in{M_j}[/texx] y luego pegar [texx]x_j[/texx] con [texx]x_k[/texx].

Ahora tenemos que ver que existe el pegado, o mejor dicho, que existe la manera de pegar dichas variedades. La variedad resultante será:

[texx]M=\left(\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}^{d}{M_i}\right)/R[/texx]

donde [texx]R=[/texx][texx]\{x\sim{y}[/texx] si [texx]\exists{n}[/texx] [texx]i[/texx], [texx]j\in{I}[/texx] / [texx]f(x_i)=x_j\}[/texx] puede probarse fácilemente que es una relación de equivalencia. De manera que podemos escribir a la variedad resultante [texx]M[/texx] como el conjunto de las clases de equivalencia de [texx]R[/texx]. Luego, podemos usar estas clases de equivalencia para formar un atlas que le de a [texx]M[/texx] una estructura de variedad diferencial. Sin embargo, como estas clases de equivalencia no mapean un abierto de cada [texx]M_i[/texx], sino que mapean a la variedad entera, que no tiene por qué ser abierta, nos restringimos a un abierto de [texx]M_i[/texx], realizando la composición con una función [texx]\varphi_i:V\subseteq{\mathbb{R^n}}\longrightarrow{f(V)}[/texx], con [texx]V[/texx] abierto (luego [texx]f(V)[/texx] será también abierto). De manera que tomamos como morfismos [texx]\psi_i[/texx] a la composición [texx]\psi_i=\varphi_i\circ{[R]_i}[/texx], y estas serán las cartas que, si son compatibles entre sí, formarán el atlas que estamos buscando.

Si todo está bien hasta acá, ya no sé como seguir adelante y demostrar la compatibilidad de las cartas que me permita llegar a que los abiertos [texx]\psi_i(M_i)[/texx] cubren todo [texx]M[/texx], y luego tampoco tengo mucha idea de cómo probar las últimas dos condiciones.

Muchas gracias, saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/07/2018, 05:07:05 am »

Hola

donde [texx]R=[/texx][texx]\{x\sim{y}[/texx] si [texx]\exists{n}[/texx] [texx]i[/texx], [texx]j\in{I}[/texx] / [texx]f(x_i)=x_j\}[/texx] puede probarse fácilemente que es una relación de equivalencia. De manera que podemos escribir a la variedad resultante [texx]M[/texx] como el conjunto de las clases de equivalencia de [texx]R[/texx]. Luego, podemos usar estas clases de equivalencia para formar un atlas que le de a [texx]M[/texx] una estructura de variedad diferencial. Sin embargo, como estas clases de equivalencia no mapean un abierto de cada [texx]M_i[/texx], sino que mapean a la variedad entera, que no tiene por qué ser abierta, nos restringimos a un abierto de [texx]M_i[/texx], realizando la composición con una función [texx]\varphi_i:V\subseteq{\mathbb{R^n}}\longrightarrow{f(V)}[/texx], con [texx]V[/texx] abierto (luego [texx]f(V)[/texx] será también abierto). De manera que tomamos como morfismos [texx]\psi_i[/texx] a la composición [texx]\psi_i=\varphi_i\circ{[R]_i}[/texx], y estas serán las cartas que, si son compatibles entre sí, formarán el atlas que estamos buscando.

Si todo está bien hasta acá, ya no sé como seguir adelante y demostrar la compatibilidad de las cartas que me permita llegar a que los abiertos [texx]\psi_i(M_i)[/texx] cubren todo [texx]M[/texx], y luego tampoco tengo mucha idea de cómo probar las últimas dos condiciones.

No estoy seguro de que quieres decir con que  la variedad entera no tiene que ser abierta.

Tienes la aplicación natural [texx]\varphi_i:M_i\to M[/texx], [texx]\varphi_i(x)=[x ].[/texx] Y se cumple que su imagen es un abierto en [texx]M[/texx].

Cuando defines [texx]M[/texx] como un cociente es bueno no olvidar que la unión que tomas es una unión disjunta y que tomas en ella la topología cociente dada por una cierta relación de equivalencia. Un conjunto [texx]A[/texx] es abierto en [texx]M[/texx] si [texx]\pi^{-1}(A)[/texx] (donde [texx]\pi[/texx] es la proyección cociente natural) es abierto en la unión disjunta de las [texx]M_j[/texx], equivalentemente, si para cada [texx]j[/texx], [texx]\pi^{-1}(A)\cap M_j[/texx] es abierto.

En concreto [texx]\pi^{-1}([M_i ])\cap M_j=U_{ji}[/texx] que es abierto en [texx]M_j[/texx].

Ahora no debería de serte difícil probar las propiedades que te indican.

Saludos.
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FabricioEF
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« Respuesta #2 : 26/08/2018, 06:30:10 pm »

Hola, perdón pero retomé este problema recién ahora.

Creo que con la respuesta anterior ya pude probar casi todo, pero lo que me falta es probar que la variedad [texx]M[/texx] total es una variedad diferenciable. Tendría que definirme un atlas que la caracterice. De modo que propuse el siguiente candidato:

[texx]B=\{(U_i\,,\,\tilde{\varphi_i}),\,i\in{}I\}[/texx]

donde llamamos [texx]U_i=\displaystyle\bigcup_{(\alpha\neq i)\in{}I}U_{i\alpha}[/texx], y donde definimos [texx]\tilde{\varphi_i}=\varphi_i\circ{}\psi_i[/texx], con [texx]\varphi_i:V\subseteq{}\mathbb{R}^n\longrightarrow{}\varphi(V)[/texx]. De este modo, el conjunto [texx]B[/texx] de cartas será un atlas si sus cartas son compatibles.

Según tengo entendido, se define [texx]\tilde{\varphi_i}[/texx] y no directamente [texx]\psi_i[/texx] porque la primera tiene dominio en [texx]\mathbb{R}^n[/texx] y justamente la variedad total será diferenciable si se parece localmente a [texx]\mathbb{R}^n[/texx]. Entonces, la idea sería que viendo que la aplicación [texx]\tilde{\varphi_i}^{-1}\left(\tilde{\varphi_i}(V)\cap{}\tilde{\varphi_j}(W)\right)\longrightarrow{}\tilde{\varphi_j}^{-1}\left(\tilde{\varphi_i}(V)\cap{}\tilde{\varphi_j}(W)\right)[/texx] es un difeomorfismo, entonces eso nos garantiza la compatibilidad de ambas cartas, con lo cual, como todas las cartas se definen de manera análoga, eso termina generando el atlas para [texx]M[/texx].

Ese es mi problema ahora, no me doy cuenta de cómo ver que esa aplicación es difeomorfa. O sea, creo que pude probar que las [texx]\psi_i[/texx] son difeomorfismos pues los son las [texx]f_{i,j}[/texx]. Pero no estoy seguro de si directamente la composición con una función [texx]\varphi_i[/texx] que sale de [texx]\mathbb{R}^n[/texx] es también un difeomorfismo. No sé tampoco si existe alguna forma más fácil de hacer esto.

Desde ya, muchas gracias.
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