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Autor Tema: Problema inverso a calcular Eigenvalores.  (Leído 709 veces)
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zimbawe
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« : 12/07/2018, 03:02:18 pm »

Hola, me ha surgido una duda y me encontré un problema que alude a está duda.
La duda es ¿Si tengo una matriz y conozco los eigenespacios asociados cómo hallo los eigenvalores?
Encontré este problema y creo que dí con la solución ¿Pero de manera general?¿Es generalizable el metodo?
Encontrar una matriz [texx]A \in{M_{3x3}(\mathbb{R})}[/texx] tal que tenga dos eigenvalores [texx]c_1; c_2[/texx] y los eigenespacios asociados sean [texx]E_{c_1}=\left\{{(x,y,z): x+2y-3z=0}\right\}[/texx]
Y [texx]E_{c_2}=\left\{{(x,y,z): 2x=-y=z}\right\}[/texx]
La matriz A ha de ser diagonalizable.
Entonces, se puede hallar una matriz [texx]Q[/texx] compuesta de eigenvectores, de hecho, [texx]B\left\{{(3, 0, 1), (-2, 1, 0), (1, -2, 2)}\right\}[/texx] sería una base para [texx]F^{3}[/texx] A su vez serían los vectores que componen las columnas de [texx]Q[/texx] entonces podríamos encontrar una matriz diagonal tal que [texx]A=Q^{-1}DQ[/texx] dicha matriz contendría a [texx]c_1; c_2[/texx] en la diagonal. A [texx]c_1[/texx] dos veces.
Debería calcular el polinomio característico de dicha matriz y exigirle que tenga a [texx]c_1; c_2[/texx] como raices?
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martiniano
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« Respuesta #1 : 12/07/2018, 03:41:58 pm »

Hola.

Yo diría que lo que has hecho para encontrar la matriz A es correcto, salvo el último vector de B. Compruébalo.

Ahora bien, no entiendo mucho la relación con lo que propones antes del enunciado del problema. En general, si conoces la matriz A, ya quedan determinados tanto sus autovalores, que serían las raíces del polinomio característico, como los espacios de autovectores.

Tal vez lo que te sucede es que el polinomio característico no se puede facorizar por métodos algebraicos y te den por eso los subespacios de autovectores. Si es así, coges un vector de cada subespacio y lo multiplicas por A, es decir, calculas su imagen. Al hacer esto, el vector que has elegido debería quedar multiplicado por un número, que sería el autovalor asociado al subespacio.

Espero haber sido lo suficientemente claro. Saludos. :guiño:

PD. Creo que deberías revisar también la relación entre A, Q y D. Diría que tienes los exponentes cambiados
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zimbawe
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« Respuesta #2 : 12/07/2018, 03:51:06 pm »

Hola, gracias por contestar. La matriz A es la que debo hallar. En efecto están mal los exponentes.
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feriva
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« Respuesta #3 : 12/07/2018, 04:13:30 pm »



Hola.

Me pasa lo mismo que a Martiniano, lo que expones como pregunta no cuadra exactamente con el problema que muestras después; pero supongo que preguntas por casos análogos a los de ese problema:

Cita

Encontré este problema y creo que dí con la solución ¿Pero de manera general?¿Es generalizable el metodo?


Sí, claro que es general, al fin y al cabo es la forma de Jordan, donde en este caso la matriz “J” es una matriz completamente diagonal, una matriz “D”.

Para ser más general podrías usar las letras de los parámetros en los vectores (al sacar los vectores por paramétricas) pero como te piden hallar una matriz (alguna matriz) pues das valores a los parámetros y ya está. Porque ocurre eso, que el problema pide “una matriz”, algo medio particular que no puede ser rutinario del todo.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 12/07/2018, 04:28:25 pm »

Hola si, pregunté mal.
No entiendo lo que planteas.
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feriva
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« Respuesta #5 : 12/07/2018, 04:31:36 pm »

No entiendo lo que planteas.

Puede que sea porque no hayas visto aún la forma de Jordan; si es así no te preocupes, ya la verás enseguida.

Saludos.
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zimbawe
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« Respuesta #6 : 12/07/2018, 04:34:18 pm »

Vale. Muchas gracias a ambos.
Pdt: No he visto la forma canónica de Jordan.
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zimbawe
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« Respuesta #7 : 12/07/2018, 04:54:43 pm »

Ya pude, gracias.
No pude, mentiras, pensé que mi solución era correcta pero no. Solo puedo dejar la matriz en función de sus valores propios.
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feriva
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« Respuesta #8 : 12/07/2018, 06:06:47 pm »

Vale. Muchas gracias a ambos.
Pdt: No he visto la forma canónica de Jordan.

Bien, no importa. Lo que te quería decir es que en este caso te de dan una base de  vectores y te piden una matriz diagonalizable. En general, te pueden dar una base de vectores (y algunos datos más) y pedirte una matriz cualquiera, diagonalizable o no (en este sentido te decía que era general). Y dirás que cómo es posible, si en ese caso te faltan autovectores para formar una base. Pues ahí es donde entra el método de Jordan para hallar los vectores que falten para la base, método para el cual existe una matriz “casi diagonal” tal que [texx]M=P^{-1}JP[/texx].

 En cuanto a lo que es hecho

Cita

No pude, mentiras, pensé que mi solución era correcta pero no. Solo puedo dejar la matriz en función de sus valores propios.

 Claro que te queda en función de los autovalores, pero éstos no son concretos, según les des valor (y según los coloques) te saldrá una matriz u otra; pero no te piden ninguna matriz especial, te piden una cualquiera. 

Saludos.
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« Respuesta #9 : 12/07/2018, 06:25:01 pm »

Hola si. Pero cuando trato de hallar los eigenvalores y los eigenvactores asociados a la matriz entonces ya no coinciden.
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« Respuesta #10 : 12/07/2018, 06:39:07 pm »

Hola si. Pero cuando trato de hallar los eigenvalores y los eigenvactores asociados a la matriz entonces ya no coinciden.

Eso es que habrás colocado los autovalores al revés.

Saludos
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« Respuesta #11 : 12/07/2018, 06:41:59 pm »

Hola si. Pero cuando trato de hallar los eigenvalores y los eigenvactores asociados a la matriz entonces ya no coinciden.
Hola Zimbawe.
Quieres decir que has intentado hacer una comprobación y no te ha resultado, ¿no? Creo que para poder ayudarte deberías subír lo que has hecho.
Saludos.
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« Respuesta #12 : 12/07/2018, 07:01:46 pm »


zimbawe, ¿corregiste esto que te dijo martiniano?

Cita

Yo diría que lo que has hecho para encontrar la matriz A es correcto, salvo el último vector de B. Compruébalo.

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« Respuesta #13 : 12/07/2018, 07:15:54 pm »

Hola. Fíjate que hice lo que había pensado en un principio y llegue que las matrices eran de la forma
[texx]\begin{matrix}
\frac{(10a-b)}{9} &  \frac{2a-2b}{9}& \frac{(b-a)}{3}\\
 \frac{(2b-2a)}{9}& \frac{(5a+4b)}{9} & \frac{2a-2b}{3}\\
\frac{(2a-2b)}{9} & \frac{(4a-4b)}{9} & \frac{(a+2b)}{3}
\end{matrix}[/texx]
Donde [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] son los valores propios. Si coloco esta matriz aquí: https://matrixcalc.org/es/vectors.html#eigenvectors%28%7B%7B%2810%2Aa-b%29/9,%282%2Aa-2%2Ab%29/9,%28b-a%29/3%7D,%7B%282%2Ab-2%2Aa%29/9,%285%2Aa%2B4%2Ab%29/9,%282%2Aa-2%2Ab%29/3%7D,%7B%282%2Aa-2%2Ab%29/9,%284%2Aa-4%2Ab%29/9,%28a%2B2%2Ab%29/3%7D%7D%29

Poniendo a y b, me arroja como valores propios a y b y como eigenespacios los que teniamos al principio. Sin embargo, cuando cambio esto por valores, ya no sucede así.
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zimbawe
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« Respuesta #14 : 12/07/2018, 07:25:13 pm »


zimbawe, ¿corregiste esto que te dijo martiniano?

/
Cita

Si. Lo corregí.
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« Respuesta #15 : 12/07/2018, 08:39:01 pm »

Hola. Fíjate que hice lo que había pensado en un principio y llegue que las matrices eran de la forma
[texx]\begin{matrix}
\frac{(10a-b)}{9} &  \frac{2a-2b}{9}& \frac{(b-a)}{3}\\
 \frac{(2b-2a)}{9}& \frac{(5a+4b)}{9} & \frac{2a-2b}{3}\\
\frac{(2a-2b)}{9} & \frac{(4a-4b)}{9} & \frac{(a+2b)}{3}
\end{matrix}[/texx]
Donde [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] son los valores propios. Si coloco esta matriz aquí: https://matrixcalc.org/es/vectors.html#eigenvectors%28%7B%7B%2810%2Aa-b%29/9,%282%2Aa-2%2Ab%29/9,%28b-a%29/3%7D,%7B%282%2Ab-2%2Aa%29/9,%285%2Aa%2B4%2Ab%29/9,%282%2Aa-2%2Ab%29/3%7D,%7B%282%2Aa-2%2Ab%29/9,%284%2Aa-4%2Ab%29/9,%28a%2B2%2Ab%29/3%7D%7D%29

Poniendo a y b, me arroja como valores propios a y b y como eigenespacios los que teniamos al principio. Sin embargo, cuando cambio esto por valores, ya no sucede así.

Pero siguen funcionando en las ecuaciones de los subespacios, supongo, ¿no?

Saludos y buenas noches (si eso mañana lo miro, que es muy tarde aquí)
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #16 : 13/07/2018, 01:39:44 am »

¿Si tengo una matriz y conozco los eigenespacios asociados cómo hallo los eigenvalores? ¿Pero de manera general?¿Es generalizable el metodo?

En general para [texx]F[/texx] cuerpo, si tenemos una base [texx]\left\{{u_1,\ldots,u_n}\right\}[/texx] de [texx]F^n[/texx] formada por vectores propios de la matriz [texx]A\in F^{n\times n}[/texx], entonces [texx]Au_1=\lambda_1u_1,\ldots,Au_n=\lambda_nu_n[/texx] para ciertos [texx]\lambda_1,\ldots,\lambda_n[/texx] elementos de [texx]K[/texx] con lo cual,

          [texx]A\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}{u_1,}{\ldots}{,u_n}\end{array}\right]}_{Q}=\left[\begin{array}{ccc}{Au_1,}{\ldots}{,Au_n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{u_1,}{\ldots}{,u_n}\end{array}\right]\underbrace{\begin{bmatrix} \lambda_{1} & \ldots & 0  \\ \vdots&&\vdots \\ 0 &\ldots & \lambda_{n}\end{bmatrix}}_{D}[/texx]

y por tanto, [texx]A=QDQ^{-1}[/texx]. En nuestro caso,

Encontrar una matriz [texx]A \in{M_{3x3}(\mathbb{R})}[/texx] tal que tenga dos eigenvalores [texx]c_1; c_2[/texx] y los eigenespacios asociados sean [texx]E_{c_1}=\left\{{(x,y,z): x+2y-3z=0}\right\}[/texx] Y [texx]E_{c_2}=\left\{{(x,y,z): 2x=-y=z}\right\}[/texx] La matriz A ha de ser diagonalizable.

los vectores propios que hallaste, [texx]u_1=(3,0,1)^T, u_2=(-2,0,1)^T,u_3=(1,-2,2)[/texx] asociados a [texx]\lambda_1=c_1,\lambda_2=c_1,\lambda_3=c_2[/texx] son correctos, y la solución a tu problema es:

          [texx]A=\begin{bmatrix}{3}&{-2}&{1}\\{0}&{1}&{-2}\\{1}&{0}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{c_1}&{0}&{0}\\{0}&{c_1}&{0}\\{0}&{0}&{c_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{3}&{-2}&{1}\\{0}&{1}&{-2}\\{1}&{0}&{2}\end{bmatrix}^{-1}=\ldots[/texx]
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« Respuesta #17 : 13/07/2018, 02:29:03 am »


Poniendo a y b, me arroja como valores propios a y b y como eigenespacios los que teniamos al principio. Sin embargo, cuando cambio esto por valores, ya no sucede así.

Hola. Es que no son arbitrarios, perdona, anoche estaba yo un poco cegado.

Sí que sale, lo que pasa es que la máquina toma el producto con la inversa al final; selecciona todo el enlace de Wolfram (no sólo lo azul) y pégalo en la barra de direcciones



http://www.wolframalpha.com/input/?i=diagonalize+%7B%7B3,-2,1%7D,%7B0,1,-2%7D,%7B1,0,2%7D%7D*%7B%7B1,0,0%7D,%7B0,1,0%7D,%7B0,0,2%7D%7D*+inverse+%7B%7B3,-2,1%7D,%7B0,1,-2%7D,%7B1,0,2%7D%7D



Saludos.
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zimbawe
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« Respuesta #18 : 13/07/2018, 08:30:35 am »

Muchas gracias a todos. Con sus sugerencias pude resolverlo.
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