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Autor Tema: Integral Gaussiana  (Leído 231 veces)
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« : 12/07/2018, 02:58:42 pm »

Hola

Para calcular la integral gaussiana se usa un método que termina analizando mediante un cambio con coordenadas polares

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

Y se llega a

[texx]\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy[/texx].


Pregunto, puede hallarse esta integral integrando cópulas?

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/07/2018, 05:31:39 am »

Hola

Para calcular la integral gaussiana se usa un método que termina analizando mediante un cambio con coordenadas polares

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral

Y se llega a

[texx]\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy[/texx].


Pregunto, puede hallarse esta integral integrando cópulas?

Pues no lo se; en principio no veo la forma. La integral se puede interpretar como

[texx]\displaystyle\int_{0}^{\infty}\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x^2-y^2}dxdy=4\pi\left(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-x^2}dx\right)\left(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-y^2}dy\right)=4\pi P(X\geq 0,Y\geq 0) [/texx].

 donde [texx]X,Y[/texx] son variables normales [texx]N(0,1/2)[/texx] independientes. La cópula es entonces [texx]C(u,v)=uv[/texx] y por simetría:

[texx]P(X\geq 0,Y\geq 0)=P(X\leq 0,Y\leq 0)=C(F(0),G(0))=C(1/2,1/2)=1/4[/texx]

 Pero la trampa de esto es que se está usando que la función [texx]f(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-x^2}[/texx] es una densidad (la densidad de la normal [texx]N(0,1)[/texx]) y en la prueba de este hecho previamente hubo que calcular la integral de Gauss.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 13/07/2018, 05:49:44 pm »

Si, eso no sirve.

De todas formas, definiendo [texx]J=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx[/texx] entonces se prueba que

[texx]\displaystyle\frac{\pi}{4}=J^2[/texx]

Es decir, [texx]4J^2=\pi[/texx] y como [texx]\pi=\displaystyle\frac{C}{d}[/texx] siendo [texx]C[/texx] la circunferencia de un circulo y [texx]d[/texx] su diámetro, no hay una forma de probarlo gráficamente? Capaz que usando el área del círculo?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 16/07/2018, 04:50:15 am »

Hola

Si, eso no sirve.

De todas formas, definiendo [texx]J=\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}dx[/texx] entonces se prueba que

[texx]\displaystyle\frac{\pi}{4}=J^2[/texx]

Es decir, [texx]4J^2=\pi[/texx] y como [texx]\pi=\displaystyle\frac{C}{d}[/texx] siendo [texx]C[/texx] la circunferencia de un circulo y [texx]d[/texx] su diámetro, no hay una forma de probarlo gráficamente? Capaz que usando el área del círculo?


Pues no lo se. No toda fórmula donde aparezca [texx]\pi [/texx]se puede interpretar de manera natural a través del área del círculo.

Saludos.
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