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Autor Tema: Probar que si T satisface estas condiciones es diagonalizable.  (Leído 485 veces)
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zimbawe
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« : 12/07/2018, 03:01:54 am »

Hola, tengo el siguiente ejercicio. El cual me hace ruido.
Sea [texx]T: \mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3[/texx] un operador lineal tal que:
1) Los valores propios de [texx]T[/texx] son 1 y -1
2) [texx]V=\{(x, y,z)\in \mathbb{R}^3: x-y+z=0\}[/texx] es un subespacio propio de [texx]T[/texx]
3) [texx]T(1,1,1)=(-1,-1,-1)[/texx]
Probar que:
a) [texx]T[/texx] es diagonalizable.
b) Si [texx]B[/texx] es la base canonica de [texx]\mathbb{R^3}[/texx] calcular la matriz de la transformacion lineal.
c) hallar la enésima potencia de la matriz calculada en b
Mil gracias.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 12/07/2018, 04:18:43 am »

Hola

Hola, tengo el siguiente ejercicio. El cual me hace ruido.
Sea [texx]T: \mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3[/texx] un operador lineal tal que:
1) Los valores propios de [texx]T[/texx] son 1 y -1
2) [texx]V=\{(x, y,z)\in \mathbb{R}^3: x-y+z=0\}[/texx] es un subespacio propio de [texx]T[/texx]

Fíjate que [texx]dim(V)=3-1=2[/texx], porque está definido por una única ecuación implícita y [texx]dim(\mathbb{R}^3)=3[/texx]. Por tanto uno de los autovalores tiene multiplicidad geométrica [texx]2[/texx], o lo que es lo mismo, dos autovectores independientes asociados a él.

Cita
3) [texx]T(1,1,1)=(-1,-1,-1)[/texx]

Esto significa que el vector [texx](1,1,1)[/texx] es un autovector asociado a [texx]-1[/texx] Como [texx](1,1,1)\not\in V[/texx] se deduce que [texx]V[/texx] es el espacio de autovectores asociados al otro autovalor, al [texx]1[/texx].

Cita
Probar que: .
a) [texx]T[/texx] es diagonalizable.

De todo lo anterior se deduce que -1 es un autovalor con multiplicidad geométrica mayor o igual que [texx]1[/texx] y [texx]1[/texx] un autovalor con multiplicidad geométrica igual a [texx]2[/texx]. Se deduce que al suma de multiplicidades geométricas coincide con la dimensión del espacio, y así el endomorfismo diagonaliza.

Cita
b) Si [texx]B[/texx] es la base canonica de [texx]\mathbb{R^3}[/texx] calcular la matriz de la transformacion lineal.

Si tomas una base de [texx]V[/texx], [texx]\{v_1,v_2\}[/texx] de lo anterior sabemos que la matriz asociada en las base [texx]B'=\{v_1,v_2,(1,1,1)\}[/texx] es diagonal con [texx]diag=(1,1,-1)[/texx]. Basta que hagas el cambio de base a la canónica.

Cita
c) hallar la enésima potencia de la matriz calculada en b

Trabaja primero en la base [texx]B'[/texx] (la potencia es fácil por que la matriz asociada es diagonal) y luego haz el cambio a la canónica.

Saludos.
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zimbawe
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« Respuesta #2 : 12/07/2018, 09:59:49 am »

Hola Luis. Mil gracias, fíjate que lo que no entendía era lo de "subespacio propio" porque lo conozco como eigenespacio  :BangHead:
Gracias por tu oportuna ayuda. Lo resolveré y si tengo alguna duda te comento.

Aunque: una base para V es [texx]\left\{{(1,1,0), (0, 1, 1)}\right\}[/texx]
No podría usar que
[texx]T(1, 1, 0)=1(1,1,0)[/texx] y [texx]T(1, 1, 1)=-1(1,1,1)[/texx] Para calcular [texx]T(B)[/texx]?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 12/07/2018, 12:31:42 pm »

Hola

Hola Luis. Mil gracias, fíjate que lo que no entendía era lo de "subespacio propio" porque lo conozco como eigenespacio  :BangHead:
Gracias por tu oportuna ayuda. Lo resolveré y si tengo alguna duda te comento.

Aunque: una base para V es [texx]\left\{{(1,1,0), (0, 1, 1)}\right\}[/texx]
No podría usar que
[texx]T(1, 1, 0)=1(1,1,0)[/texx] y [texx]T(1, 1, 1)=-1(1,1,1)[/texx] Para calcular [texx]T(B)[/texx]?

Si, te has olvidado de [texx]T(0,1,1)=1\cdot (0,1,1).[/texx] Usar eso es totalmente equivalente a lo que te sugerí aquí:

Si tomas una base de [texx]V[/texx], [texx]\{v_1,v_2\}[/texx] de lo anterior sabemos que la matriz asociada en las base [texx]B'=\{v_1,v_2,(1,1,1)\}[/texx] es diagonal con [texx]diag=(1,1,-1)[/texx]. Basta que hagas el cambio de base a la canónica.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 12/07/2018, 01:38:06 pm »

Si Luis :BangHead:. Muchas gracias.
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