Duda topología producto

[Eparoh]

Hola, tengo una duda respecto a la topología producto de un número finito de espacios topológicos.
Tengo demostrado que la topología producto de [texx]\mathbb{R}[/texx] con la topología usual consigo mismo es igual a la topología usual definida en [texx]\mathbb{R}^2[/texx]. Y, a partir de esto, aunque no lo he demostrado, creo que el producto cartesiano de la base de [texx]\mathbb{R}[/texx] formada por las bolas abiertas de este espacio consigo mismo es base de la topología producto.
Mi duda ahora surge de que creo que esto no es cierto en general, es decir que el producto cartesiano de las bases de varios espacios topológicos sea base de la topología producto, sin embargo, no consigo encontrar ningún ejemplo de ello, o si estoy equivocado, demostrar lo contrario.
¿Alguna idea?
Un saludo y muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, tengo una duda respecto a la topología producto de un número finito de espacios topológicos.
Tengo demostrado que la topología producto de [texx]\mathbb{R}[/texx] con la topología usual consigo mismo es igual a la topología usual definida en [texx]\mathbb{R}^2[/texx]. Y, a partir de esto, aunque no lo he demostrado, creo que el producto cartesiano de la base de [texx]\mathbb{R}[/texx] formada por las bolas abiertas de este espacio consigo mismo es base de la topología producto.
Mi duda ahora surge de que creo que esto no es cierto en general, es decir que el producto cartesiano de las bases de varios espacios topológicos sea base de la topología producto, sin embargo, no consigo encontrar ningún ejemplo de ello, o si estoy equivocado, demostrar lo contrario.
¿Alguna idea?

Pero si es cierto en general para el producto de un número finito de espacios topológicos. De hecho a veces se da como definición de topología producto: una base de la misma son los conjutos producto de abiertos de cada uno de los espacios, o productos de abiertos básicos de cada uno de los espacios.

La prueba es muy sencilla; para formalizarla eso si, es necesario saber como te han definido la topología producto; hay varias formas equivalentes de introducirla.

Saludos.

[Eparoh]

La tengo definida a partir de la topología inducida por las proyecciones del producto cartesiano de los conjuntos en cada uno de los espacios topológicos. También he demostrado a partir de esta definición que en el caso de productos finitos una base de esta topología es la formada por el producto de los distintos abiertos de cada uno de los espacios topológicos, es decir, [texx]B=\{U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n: U_i \in \tau_i\}[/texx] (dejo la demostración que he desarrollado como archivos adjuntos pues ya no estoy seguro de si he entendido bien todo, y si pudierais echarle un vistazo me sería de mucha utilidad saber si es correcta).

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La razón por la que pensé que el producto de las bases no era base en la topología producto es porque intenté demostrarlo expresando los abiertos como uniones de elementos de esta base [texx]B[/texx] que he dicho y obtenía combinaciones de productos cartesianos con uniones y no sabía continuar.
Espero puedan ayudarme 
Un saludo, y como siempre, muchas gracias por tu tiempo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Está bien.

Saludos.

[Eparoh]

Muchas gracias por mirarlo 
Y ya conseguí demostrar lo de las bases, estaba confundido con una tontería.
Un saludo