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Autor Tema: Definición de aleph-1  (Leído 445 veces)
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micabua
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« : 11/07/2018, 02:45:34 pm »

Hola,

Estoy trabajando en la hipótesis del continuo y no tengo muy clara la definición de [texx]\aleph_1[/texx]. Se define [texx]\aleph_0:=|\mathbb{N}|[/texx] como el cardinal de los naturales. De esto se sigue con una serie de definiciones de los "alephs" que desconozco, y es lo que quiero saber.

La hipótesis del continuo dice que no existe ningún conjunto con cardinal entre [texx] \aleph_0[/texx] y el cardinal de los reales [texx]c[/texx]. Asumiendo el axioma de elección los únicos infinitos son los aleph y entonces la hipótesis del continuo se vuelve en: [texx]c=\aleph_1[/texx].

Ahora bien, no sé de dónde sale la definición de [texx]\aleph_1[/texx]. No puede ser el conjunto partes de los naturales, ni tampoco el conjunto potencia [texx]2^{\mathbb{N}}[/texx] (que es lo mismo).

Si la definición es el cardinal "siguiente" al de los naturales, no lo tengo muy claro si no usas el axioma de elección. Sería algo como el número real siguiente al 0.

Gracias!
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 11/07/2018, 05:49:35 pm »

Para responder de forma natural a lo que estás planteando tendrías que estudiar teoría de ordinales antes de estudiar teoría de cardinales. Cualquier intento de meterte en estas cosas sin estudiar primero lo que son los ordinales es como si te propones decir algo sin usar palabras que tengan la letra "a". Podrás hacerlo, pero seguro que te queda muy raro y cualquiera que te oiga arrugará la nariz preguntándose por qué dices cosas tan raras.

Por ejemplo, la definición natural es que [texx]\aleph_1[/texx] es el menor ordinal no numerable, y su existencia se prueba sin usar el axioma de elección. Igualmente, [texx]\aleph_2[/texx] es el menor ordinal de cardinal mayor que [texx]\aleph_1[/texx], y así sucesivamente.

Si no quieres usar ordinales ni tampoco el axioma de elección, puedes definir [texx]\aleph_1[/texx] como el cardinal del conjunto de clases de equivalencia de buenos órdenes en [texx]\mathbb N[/texx] respecto de la relación de isomorfismo.

Por ejemplo, la ordenación usual de los números naturales:

[texx]0 < 1 < 2 < 3 < 4 \cdots[/texx]

es un buen orden, y [texx]\mathbb N[/texx] con ese buen orden es isomorfo a [texx]\mathbb N[/texx] con este otro:

[texx]3 < 2 < 1 < 0 < 4 < 5 < 6<\cdots[/texx]

Ambos determinan la misma clase de equivalencia. En cambio, si ordenamos los naturales así:

[texx]1<2<3 < \cdots < 0[/texx]

tenemos un buen orden no isomorfo al anterior, y este otro:

[texx]2<3<4<\cdots < 0<1[/texx]

determina una clase diferente a las otras dos. En general, si llamamos

[texx]A=\{R\subset \mathbb N\times\mathbb N\mid R \mbox{ es un buen orden en }\mathbb N\}[/texx]

y definimos en [texx]A[/texx] la relación de equivalencia dada por

[texx]R_1\sim R_2[/texx] si y sólo si [texx](\mathbb N, R_1)[/texx] es isomorfo a [texx](\mathbb N,R_2)[/texx], entonces el conjunto cociente [texx]A/\sim[/texx] tiene cardinal [texx]\aleph_1[/texx], y puedes tomar esto como definición.

Ahora, si admites el axioma de elección puede probarse que los cardinales están bien ordenados y no tienen máximo, de modo que puedes definir [texx]\aleph_1[/texx] como el menor cardinal mayor que [texx]\aleph_0[/texx].

Si la definición es el cardinal "siguiente" al de los naturales, no lo tengo muy claro si no usas el axioma de elección.

Si entendemos siguiente como que todo conjunto de cardinal mayor que [texx]\aleph_0[/texx] tiene cardinal mayor o igual que [texx]\aleph_1[/texx], sí, la existencia de [texx]\aleph_1[/texx] en ese sentido requiere el axioma de elección.

Sería algo como el número real siguiente al 0.

No, como eso no sería, porque existe el cardinal siguiente a [texx]\aleph_0[/texx], pero no existe el número real siguiente al 0.
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