Segundo principio de inducción

[fafafa]

La imagen que se ve a continuación fue sacada de un libro.


En el segundo párrafo dice que para probar que el segundo principio de inducción implica el primer principio, suponer el segundo principio como válido.

luego dice: " si la suposición 2 es verdad, entonces también la suposición 2' ". ¿no debería ser al revés? " si la suposición 2' es verdad, entonces tambien lo es la suposicion 2 ".

Al final del párrafo: ¿No termina demostrando que el primer principio implica el segundo? que es la implicación contraria que en realidad quería demostrar.

[martiniano]

Hola.
Yo de inglés voy un poco justo, la verdad. Pero creo que lo que pretende el texto es demostrar ambas implicaciones. Es decir, que el segundo implica el primero y que el primero implica también el segundo. Repito que mi nivel de inglés es insuficiente para juzgar la claridad del texto.
Saludos.

[fafafa]

Hola.
Yo de inglés voy un poco justo, la verdad. Pero creo que lo que pretende el texto es demostrar ambas implicaciones. Es decir, que el segundo implica el primero y que el primero implica también el segundo. Repito que mi nivel de inglés es insuficiente para juzgar la claridad del texto.
Saludos.

En esa parte solo habla de la primera implicación. Las otras dos las deja para más adelante en el libro. Lo que a mi me parece es que termina demostrando la CONVERSA de la implicación original. pero no estoy muy seguro.

lo que demuestra es que si la segunda hipótesis del primer principio de inducción es verdadera, entonces también tiene que ser verdadera la segunda hipótesis del segundo principio.

[texx](P(k)\Longrightarrow{}P(k+1))\Longrightarrow{}(P(1)\cap{}\ldots\cap{}P(k)\Longrightarrow{}P(k+1))[/texx]

[Luis Fuentes]

Hola

lo que demuestra es que si la segunda hipótesis del primer principio de inducción es verdadera, entonces también tiene que ser verdadera la segunda hipótesis del segundo principio.

[texx](P(k)\Longrightarrow{}P(k+1))\Longrightarrow{}(P(1)\cap{}\ldots\cap{}P(k)\Longrightarrow{}P(k+1))[/texx]

Ciertamente prueba lo que estás escribiendo ahí; es decir que si se tienen las hipótesis del primer principio de inducción también se tienen las hipótesis del segundo principio; eso te permite poder aplicar el segundo principio y probar la conclusión. Por eso ahí estás probando que el segundo principio implica el primero.

Saludos.

[fafafa]

Hola

lo que demuestra es que si la segunda hipótesis del primer principio de inducción es verdadera, entonces también tiene que ser verdadera la segunda hipótesis del segundo principio.

[texx](P(k)\Longrightarrow{}P(k+1))\Longrightarrow{}(P(1)\cap{}\ldots\cap{}P(k)\Longrightarrow{}P(k+1))[/texx]

Ciertamente prueba lo que estás escribiendo ahí; es decir que si se tienen las hipótesis del primer principio de inducción también se tienen las hipótesis del segundo principio; eso te permite poder aplicar el segundo principio y probar la conclusión. Por eso ahí estás probando que el segundo principio implica el primero.

Saludos.

Evidentemente hay algo que no entiendo. para probar un implicación, en este caso:

segundo principio[texx]\Longrightarrow{}[/texx]primer principio

se supone que el segundo principio es verdadero y se debe llegar a la conclusión de que el primer principio es verdadero.

Con decir que si tenes la hipotesis del primer principio de induccion tambien se tiene la hipotesis del segundo principio te serviria para probar la conversa, es decir:

primer principio[texx]\Longrightarrow{}[/texx]segundo principio
 

[Luis Fuentes]

Hola

Evidentemente hay algo que no entiendo. para probar un implicación, en este caso:

segundo principio[texx]\Longrightarrow{}[/texx]primer principio

se supone que el segundo principio es verdadero y se debe llegar a la conclusión de que el primer principio es verdadero.

Con decir que si tenes la hipotesis del primer principio de induccion tambien se tiene la hipotesis del segundo principio te serviria para probar la conversa, es decir:

primer principio[texx]\Longrightarrow{}[/texx]segundo principio

Estás confundiendo el hecho de que sea cierto el primer (respect. el segundo) principio, con que sean ciertas las hipótesis del primer (respecto. el segundo) principio.

Te hago un esquema a ver si lo ves más claro.

Primer principio: [texx]Hip_1\quad \Rightarrow{}\quad Tesis[/texx]
Segundo principio: [texx]Hip_2\quad \Rightarrow{}\quad Tesis[/texx]

donde la Tesis es la misma en ambos principios.

Entonces vamos a probar el primer principio usando el segundo, es decir, suponiendo que se cumple el segundo.

Para probar el primer principio tenemos que demostar que si se cumple la [texx]Hip_1[/texx] entonces se cumple la [texx]Tesis[/texx].

Entonces supongamos que [texx]Hip_1[/texx] es cierta:

a)- Probamos que [texx]Hip_1\quad \Rightarrow{}\quad Hip_2[/texx] y por tanto como [texx]Hip_1[/texx] es cierta, [texx]Hip_2[/texx] es cierta.
b)- Como se cumple el segundo principio, si [texx]Hip_2[/texx] es cierta entonces la [texx]Tesis[/texx] es cierta.

Q.E.D.

 ¿Más claro ahora?. ¿Alguna duda?.

Saludos.

[feriva]

Con un ejemplo, lo entiendo así:

[texx]r^{2}+r+41
 [/texx] es primo para [texx]1\leq r\leq k
 [/texx]. Esto es falso en general, pero si k=38 como máximo, entonces es cierto para k+1

(Como tenemos una cota baja, se puede comprobar a mano y se ve que es verdad).

Si ahora vamos al enunciado del primer principio, para que éste fuera cierto, “todo k” tendrían que ser valores que van de 1 hasta 38 y no hasta cualquier “n”, pues previamente ha quedado fijado un máximo para k.

Considerémoslo entonces para esta acotación, k=38, como si “k” fuera “n”; hasta aquí es cierto.

Ahora, si empezamos al revés, no será cierto porque “k” no queda fijado en ningún caso, no hay condiciones sobre k, empieza siendo un “n” genérico y, después, al entrar en el segundo principio, ya sí aparece (o puede aparecer) una condición y no cumplirse para todo “n” (se ve en el ejemplo puesto, pues si k=39, por dar un valor particular mayor que 38, entonces para k+1 no es primo; no se cumple para todo “k”. Y esto se traduce como que el primero no ha implicado el segundo; es un contraejemplo a la que decías).

Pero cuando en el segundo principio se da el caso de que “r” puede tomar cualquier valor, es decir, cuando k puede ser un “n” cualquiera, la inducción es cierta para todo “n”; y eso es precisamente lo que dice el primer principio. Así que el segundo condiciona al primero y no al revés; o, dicho de otra forma, cuando la inducción es cierta para el segundo, también en necesariamente cierta para el primero.

(no sé seguro si sería esto, pero es lo que entiendo)

Saludos.

[fafafa]

Hola

Evidentemente hay algo que no entiendo. para probar un implicación, en este caso:

segundo principio[texx]\Longrightarrow{}[/texx]primer principio

se supone que el segundo principio es verdadero y se debe llegar a la conclusión de que el primer principio es verdadero.

Con decir que si tenes la hipotesis del primer principio de induccion tambien se tiene la hipotesis del segundo principio te serviria para probar la conversa, es decir:

primer principio[texx]\Longrightarrow{}[/texx]segundo principio

Estás confundiendo el hecho de que sea cierto el primer (respect. el segundo) principio, con que sean ciertas las hipótesis del primer (respecto. el segundo) principio.

Te hago un esquema a ver si lo ves más claro.

Primer principio: [texx]Hip_1\quad \Rightarrow{}\quad Tesis[/texx]
Segundo principio: [texx]Hip_2\quad \Rightarrow{}\quad Tesis[/texx]

donde la Tesis es la misma en ambos principios.

Entonces vamos a probar el primer principio usando el segundo, es decir, suponiendo que se cumple el segundo.

Para probar el primer principio tenemos que demostar que si se cumple la [texx]Hip_1[/texx] entonces se cumple la [texx]Tesis[/texx].

Entonces supongamos que [texx]Hip_1[/texx] es cierta:

a)- Probamos que [texx]Hip_1\quad \Rightarrow{}\quad Hip_2[/texx] y por tanto como [texx]Hip_1[/texx] es cierta, [texx]Hip_2[/texx] es cierta.
b)- Como se cumple el segundo principio, si [texx]Hip_2[/texx] es cierta entonces la [texx]Tesis[/texx] es cierta.

Q.E.D.

 ¿Más claro ahora?. ¿Alguna duda?.

Saludos.

Ahora si, Gracias!!!