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Autor Tema: Inversa de una función  (Leído 672 veces)
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Lorenita
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« : 10/07/2018, 06:56:45 pm »

hola

Tengo una duda


¿Cómo se calcula la inversa de la función [texx]f(x) = x^2 -x+1[/texx] , con la condición que [texx]x \in{} R^-[/texx] y cual es la condición para "x"?
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« Respuesta #1 : 10/07/2018, 09:34:35 pm »

hola

Tengo una duda


¿Cómo se calcula la inversa de la función [texx]f(x) = x^2 -x+1[/texx] , con la condición que [texx]x \in{} R^-[/texx] y cual es la condición para "x"?

La función    [texx]f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable.

La función    [texx]f'(x)=2x-1[/texx]    se anula en    [texx]x=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]    y    [texx]f'(0)=-1[/texx]    así que la función    [texx]f[/texx]    restringida a
[texx]\mathbb{R^-}[/texx]    es estrictamente decreciente luego biyectiva y debería tener inversa. Sólo falta calcularla.

:sonrisa:

Saludos.
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Lorenita
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« Respuesta #2 : 10/07/2018, 09:39:18 pm »

Me la puedes explicar sin derivar , gracias
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delmar
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« Respuesta #3 : 11/07/2018, 01:23:16 am »

Hola

La función esta definida para todo número real negativo.  Una función para tener inversa ha de ser inyectiva. ¿Será inyectiva para todo número real negativo? Hay que averiguarlo :

Supongamos que no es inyectiva en [texx]R^-[/texx] , eso significa, [texx]\exists{x_1,x_2}\in{R^-} \ / \ x_1\neq{x_2}, \ \wedge f(x_1)=f(x_2)[/texx]

Entonces : [texx]x_1^2-x_1+1=x_2^2-x_2+1\Rightarrow{(x_2^2-x_1^2)-(x_2-x_1)=0}\Rightarrow{x_2=1-x_1}[/texx]

Pero : [texx]x_1<0\Rightarrow{-x_1>0}\Rightarrow{1-x_1>1}\Rightarrow{x_2>1}[/texx], absurdo por que [texx]x_2<0[/texx]. Por lo tanto f es inyectiva en [texx]R^-[/texx] y en consecuencia tiene inversa en [texx]R^-[/texx]

f es una función : [texx]f=\left\{{(x,y) \ / \ y=x^2-x+1, \ x\in{R^-}}\right\}[/texx]

La inversa es : [texx]f^{-1}=\left\{{(y,x)}\right\}[/texx], hay que poner x en función de y, nos basamos en : [texx]y=x^2-x+1\Rightarrow{x^2-x+(1-y)=0}[/texx]

Se despeja x utilizando la solución para las ecuaciones de segundo grado : [texx]x=\displaystyle\frac{1\pm{\sqrt[ ]{1-4(1-y)}}}{2}[/texx]

Por ser [texx]x<0[/texx] se tiene : [texx]x=f^{-1}(y)=\displaystyle\frac{1-\sqrt[ ]{4y-3}}{2}[/texx], además se precisa el dominio  [texx]D(f^{-1})[/texx], considerando que [texx]4y-3>0 \ \wedge \ \displaystyle\frac{1-\sqrt[ ]{4y-3}}{2}<0[/texx], con la relación funcional [texx]f^{-1}(y)[/texx] y el dominio [texx]D(f^{-1})[/texx], la función inversa [texx]f^{-1}[/texx] queda determinada.


Saludos
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« Respuesta #4 : 11/07/2018, 08:50:28 am »

Me la puedes explicar sin derivar , gracias


Pues no se me ocurre como. Bueno tras la respuesta de delmar si.

Saludos.
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Lorenita
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« Respuesta #5 : 20/07/2018, 01:27:53 am »

gracias por la ayuda , sin red por muchos dias
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adhemir
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« Respuesta #6 : 24/07/2018, 10:14:04 am »

Ola, bueno yo lo haría de la siguiente forma:
Completamos cuadrados  y obtenemos :
[texx]f(x)=y=x^2-x+1=x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}[/texx]
Ahora para calcular la inversa  debemos  encontrar una función que depende de la variable  [texx]y,[/texx] para eso debemos despejar la variable [texx]x[/texx]. Así de la  igualdad de anterior obtenemos:
[texx]\sqrt{y-\frac{3}{4}}=|x-\frac{1}{2}| \Longrightarrow{ g(y)=x=\frac{1}{2}-\sqrt{y-\frac{3}{4}}}[/texx]
Nota que coloque menos en el signo de la raíz ya que por hipótesis [texx]x<0[/texx]. Puedes verificar que realmente [texx]g(y)[/texx] es la inversa calculando la composición de las funciones:
[texx] f\circ g = g \circ f = id [/texx]
 o sea
[texx] f(g(y))=y \mbox{ e } g(f(x))=x[/texx] 

Finalmente a la inversa se le denota por [texx]g=f^{-1}[/texx]
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