15/12/2018, 06:29:24 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Calcula área máxima de rectángulo cuya base es cuerda de circunferencia.  (Leído 1956 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.896


Ver Perfil
« : 22/07/2018, 11:12:16 am »


Calcula el área máxima de un rectángulo que tiene dos vértices sobre una circunferencia y su base está sobre una cuerda dada de dicha circunferencia.

En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.896


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 22/07/2018, 11:23:46 am »

El esquema más o menos.


* Rectangulo_cuerda.ggb (11.45 KB - descargado 60 veces.)
En línea
sugata
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.146


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 22/07/2018, 11:48:19 am »

¿No falta algún dato?
De este modo el área máxima sería en el límite en que los vértices de la base estén en la circunferencia.
En línea
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 574


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 22/07/2018, 11:53:54 am »

Hola
¿No falta algún dato?
De este modo el área máxima sería en el límite en que los vértices de la base estén en la circunferencia.


Si no se me escapa nada creo que estas equivocado. Considera el caso en que la cuerda sea un diámetro y verás como la situación que propones corresponde a un rectángulo degenerado.

Saludos.
En línea
sugata
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.146


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 22/07/2018, 11:55:47 am »

Hola
¿No falta algún dato?
De este modo el área máxima sería en el límite en que los vértices de la base estén en la circunferencia.


Si no se me escapa nada creo que estas equivocado. Considera el caso en que la cuerda sea un diámetro y verás como la situación que propones corresponde a un rectángulo degenerado.

Saludos.

Tienes razón.
Yo pensaba en una cuerda cualquiera y es una cuerda DADA.
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.896


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 22/07/2018, 11:57:35 am »

¿No falta algún dato?
De este modo el área máxima sería en el límite en que los vértices de la base estén en la circunferencia.

Si, esa es también mi primera observación. El cuadrado maximiza el área del rectángulo, así que si la cuerda es la base del cuadrado inscrito en la circunferencia estaría listo.
Es de suponer que    [texx]\color{blue}0<a<r[/texx]    es una distancia dada fija y distinta a la que haría que el rectángulo fuese exactamente el cuadrado inscrito. ¿No?

Saludos.  


EDITADO
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.896


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 22/07/2018, 12:14:04 pm »

Usando que el cuadrado maximiza el área rectangular, (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=105326.0), el área máxima debe ser   

[texx]A_{\max}=(y+a)^2=4x^2[/texx],

se debe verificar

[texx]x^2+y^2=r^2[/texx].

Para que tenga sentido el problema debe ser además    [texx]|a|\in{\bigg(0,r\cdot{\sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)}\bigg)}\cup{\bigg(r\cdot{\sen\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)},r\bigg)}[/texx]    con    [texx]a[/texx]    y    [texx]r[/texx]    constantes.

Creo yo.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 7.520



Ver Perfil
« Respuesta #7 : 22/07/2018, 12:20:53 pm »

Perdón, que me había entendido otra cosa ahora que vuelvo a mirar.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.

Por cierto, el problema, como poco, es medio puñetero; y seguramente tirando a puñetero entero
En línea

martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 574


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 22/07/2018, 03:05:22 pm »

Hola a todos.

Buscón, no acabo de entender tu planteamiento. El cuadrado maximiza el área de los rectángulos con un cierto perímetro, pero aquí el perímetro no es constante.

Yo lo que intentaría es maximizar la función área:

[texx]A(x, y) =2x(y+a)[/texx]

Bajo la condición :

[texx]x^2+y^2=r^2[/texx]

Saludos.

En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.896


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 22/07/2018, 06:50:53 pm »

Hola a todos.

Buscón, no acabo de entender tu planteamiento. El cuadrado maximiza el área de los rectángulos con un cierto perímetro, pero aquí el perímetro no es constante.

Yo lo que intentaría es maximizar la función área:

[texx]A(x, y) =2x(y+a)[/texx]

Bajo la condición :

[texx]x^2+y^2=r^2[/texx]

Saludos.

El área es máxima si la secante, (base del rectángulo), corta a la circunferencia en    [texx]\bigg(r\cdot{\sen\left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)},r\cdot{\cos\left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)}\bigg)[/texx],
porque entonces se trata de un cuadrado inscrito en la circunferencia. ¿No?

Entonces ese caso debería estar descartado. Se debe considerar que la secante corta a la circunferencia en cualquier otro punto, lógicamente entre el diámetro y la tangente, tomando como constante la  distancia de dicha secante al centro.

Saludos.
En línea
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 574


Ver Perfil
« Respuesta #10 : 22/07/2018, 07:41:05 pm »

Hola.

Es que no debes preocuparte por la posición relativa entre la recta y la circunferencia pues eso forma parte del enunciado, si es que lo he entendido bien.

Lo que debes hallar son las dimensiones del rectángulo en función de a y de r.

Saludos.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 7.520



Ver Perfil
« Respuesta #11 : 23/07/2018, 04:48:18 am »

Hola.

Es que no debes preocuparte por la posición relativa entre la recta y la circunferencia pues eso forma parte del enunciado, si es que lo he entendido bien.

Lo que debes hallar son las dimensiones del rectángulo en función de a y de r.

Saludos.


Efectivamente, eso sería lo normal, pero fíjate en una cosa. Supón que nos dan dos puntos fijos como dato en vez de la cuerda; el área tiene un máximo claramente, que se da en la medida que alejamos la cuerda de los dos puntos todo lo posible sin que el rectángulo se salga de la circunferencia; no obstante, el valor numérico del área máxima depende de cuáles sean los puntos particulares. Si en vez de los puntos nos dan una cuerda, sin determinar, pasa lo mismo, el valor numérico depende de qué cuerda. Entonces, me parece ver que la fórmula del máximo no puede ser muy “cerrada” (por expresarlo del algún modo, no sé cómo decirlo) será una especie de “media” entre ambos máximos o habrá que dar una acotación o algo parecido (lo mismo estoy diciendo una tontería, porque yo problemas de análisis poquísimos cuando estudié lo poco que estudié).

Saludos. 
En línea

Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.896


Ver Perfil
« Respuesta #12 : 23/07/2018, 05:38:36 am »

Por algún sitio apareció esta solución, es sólo el planteamiento:


[texx]h=r(\sen\beta-\sen\alpha)[/texx];    [texx]b=2r\cos\beta[/texx]

Se trata entonces de maximizar

[texx]Area=b\cdot{h}=2r^2\cos\beta(\sen\beta-\sen\alpha)[/texx]

Saludos.

* Sol_Rectangulo_cuerda.ggb (14.3 KB - descargado 52 veces.)
En línea
sugata
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.146


Ver Perfil
« Respuesta #13 : 23/07/2018, 05:59:46 am »

¿Y si la cuerda está por encima del centro?
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 7.520



Ver Perfil
« Respuesta #14 : 23/07/2018, 06:17:39 am »

¿Y si la cuerda está por encima del centro?


Te quedarían los ángulos colocados de otra manera. Lo que hace es dibujar el radio hasta el punto de corte de la cuerda con la circunferencia.

Pero a mí me sigue pareciendo de alguna manera “medio indeterminado”; es decir, dada una cuerda (que es dada pero no sabemos cuál) parece que puede no haber, no sé cómo decir, “biyección” en cuanto a ángulos “dados”; seguramente estoy equivocado, porque me cuesta mucho visualizar todo esto y tampoco sé muy bien lo que digo, así que ni caso al comentario.

Saludos.
En línea

Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.896


Ver Perfil
« Respuesta #15 : 23/07/2018, 06:32:43 am »

¿Y si la cuerda está por encima del centro?


¿[texx]\cancel{0<\alpha<\pi}[/texx]?     ¿[texx]0<\alpha<\beta<\displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx]?


EDITADO.

Debería ser también    [texx]\alpha<\beta[/texx]    para que el área no sea nula.


CORREGIDO.
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.896


Ver Perfil
« Respuesta #16 : 23/07/2018, 08:56:00 pm »

Pongo el siguiente paso de la solución, donde toma    [texx]\alpha[/texx]    constante.

Cita de: Javeri Pérez. Calculo diferencial e integral.
...
Pongamos, por comodidad,    [texx]\beta=x[/texx]    y prescindamos del factor    [texx]2\rho^2[/texx].
Sea

[texx]f(x)=\cos x(\sen x-\sen\alpha)[/texx]    [texx]-\alpha\leq{x}\leq{\pi/2}[/texx]    (donde    [texx]-\pi/2<\alpha\leq{0}[/texx])

Tenemos que    [texx]f'(x)=-\sen x(\sen x-\sen\alpha)+\cos^2 x=-2\sen^2 x+\sen\alpha\sen x+1[/texx].
Haciendo    [texx]t=\sen x[/texx]    tenemos que    [texx]f'(x)=0[/texx]    equivale a que    [texx]-2t^2+t\sen\alpha+1=0[/texx]. Esta
ecuación tiene dos raíces reales que vienen dadas por

[texx]t_0=\displaystyle\frac{\sen\alpha-\sqrt[ ]{\sen^2\alpha+8}}{4}[/texx],    [texx]t_1=\displaystyle\frac{\sen\alpha+\sqrt[ ]{\sen^2\alpha+8}}{4}[/texx]

...

El resto se puede ver en el pdf de la cita:


Creía que venía como ejercicio propuesto pero viene como ejercicio resuelto. Disculpen las molestias y gracias de todos modos.

Aún así a ver si alguien me puede aclarar esta duda: ¿En base a que prescinde del factor    [texx]2\rho^2[/texx]?

Saludos.
En línea
martiniano
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 574


Ver Perfil
« Respuesta #17 : 24/07/2018, 03:51:10 am »

Hola.

Entiendo que lo que Javier Pérez llama [texx]\rho[/texx] en su solución es lo que tú has llamado [texx]r[/texx] en la expresión del área:

Se trata entonces de maximizar

[texx]Area=b\cdot{h}=2r^2\cos\beta(\sen\beta-\sen\alpha)[/texx]

Fíjate que para maximizar esta función hay que derivarla e igualarla a cero. Para solucionar esa ecuación, uno de los primeros pasos sería dividir ambos miembros por [texx]2r[/texx] y con esto desaparecería. Lo que hace el autor es prescindir directamente de él.

Saludos.
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.896


Ver Perfil
« Respuesta #18 : 24/07/2018, 09:09:17 am »

Hola.

Entiendo que lo que Javier Pérez llama [texx]\ro[/texx] en su solución es lo que tú has llamado [texx]r[/texx] en la expresión del área:

Se trata entonces de maximizar

[texx]Area=b\cdot{h}=2r^2\cos\beta(\sen\beta-\sen\alpha)[/texx]

Fíjate que para maximizar esta función hay que derivarla e igualarla a cero. Para solucionar esa ecuación, uno de los primeros pasos sería dividir ambos miembros por [texx]2r[/texx] y con esto desaparecería. Lo que hace el autor es prescindir directamente de él.

Saludos.


Vale, vale, gracias. En el primer paso de la derivación es fácil darse cuenta que se puede prescindir de él,

[texx]\big[2r^2\cos\beta(\sen\beta-\sen\alpha)\big]'=\cancel{\left(2r^2\right)'\cdot{\big[\cos\beta(\sen\beta-\sen\alpha)\big]}}+2r^2\cdot{\big[\cos\beta(\sen\beta-\sen\alpha)\big]'}[/texx].

La ecuación

[texx]2r^2\cdot{\big[\cos\beta(\sen\beta-\sen\alpha)\big]'}=0[/texx]

se anula con radio cero, pudiendo prescindir de dicho caso. Sólo interesa entonces saber cuando se anula    [texx]\big[\cos\beta(\sen\beta-\sen\alpha)\big]'[/texx].

Un saludo.
En línea
Buscón
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.896


Ver Perfil
« Respuesta #19 : 24/07/2018, 11:22:12 am »

Si estoy entendiendo bien la solución que se propone en la cita, deberá verificarse    [texx]0<|\beta-\alpha|<\pi[/texx]    y    [texx]\alpha<\beta[/texx],
considerar    [texx]\alpha[/texx]    constante distinguiendo en base a ello y a la posición también constante de los puntos sobre la circunferencia los siguientes casos:

   i)     el diámetro de la circunferencia está entre los puntos sobre la circunferencia y la cuerda,

   ii)    los puntos sobre la circunferencia y la cuerda están a una distancia por encima del diámetro,

   iii)   los puntos sobre la circunferencia y la cuerda están a una distancia por debajo del diámetro,

   iv)   los puntos sobre la circunferencia pertenecen al diámetro y

   vi)   la cuerda y el diámetro coinciden.


¿Correcto? Saludos y gracias.

EDITO. Ya me respondo yo. No la estás entendiendo bien Buscón.

En ningún caso se deben considerar los puntos sobre la circunferencia constantes. Si se hace, la maximización que propone el ejercicio pierde el sentido.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!