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Autor Tema: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).  (Leído 8130 veces)
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« Respuesta #60 : 03/07/2018, 01:00:04 pm »

Entonces, recapitulando:

Teorema de derivación de la función inversa.

Sea    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    derivable en el intervalo    [texx]I[/texx]    con derivada    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{I}[/texx].    Entonces    [texx]f[/texx]    es una biyección de     [texx]I[/texx]    sobre el intervalo    [texx]J=f(I)[/texx]    y la función inversa    [texx]f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable
en    [texx]J[/texx].






En el caso que se plantea, sea    [texx]\cancel{y=f(x)}[/texx],    entonces    [texx]\cancel{f^{-1}(y)=x}[/texx],    y por consiguiente
Sea
[texx]f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx].
   

Está claro que la función    [texx]f^{-1}[/texx]    (la inversa de    [texx]\cancel{f}[/texx]):

   i)    Se define como    [texx]f^{-1}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    y viene dada por    [texx]f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx],

   ii)   Es derivable en el intervalo    [texx]\mathbb{R}[/texx]    por ser un polinomio,

   iii)  [texx]\color{red}(\color{black}f^{-1}\color{red})'\color{black}(y)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx].   

   iv)  [texx](f^{-1})'(y)=6y^2-6y+6[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx].






Para el primer punto que piden, la unicidad de    [texx]f[/texx]:

DEFINICIÓN.

Dadas dos funciones    [texx]f:A\rightarrow{B}[/texx]    y    [texx]g:C\rightarrow{D}[/texx],    son iguales o idénticas si se cumple:

   • Tienen el mismo dominio:    [texx]A=C[/texx],
   • Tienen el mismo codominio:    [texx]B=D[/texx],
   • Asignan las mismas imágenes: para cada    [texx]x\in{A}=C[/texx],    se tiene que    [texx]f(x)=g(x)[/texx].




Es obvio que si existe    [texx]g^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx]    entonces    [texx]g^{-1}[/texx]    debe verificar también i), ii) y iii) por ser    [texx]f^{-1}(y)=g^{-1}(y)[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx],    esto es, la función    [texx]f^{-1}[/texx]    es única.   

Ahora bien, como i), ii) y iii) son las hipótesis del teorema de derivación de la función inversa, resulta que
[texx]f^{-1}[/texx]    es una biyección, y por lo tanto la función    [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    también es única c.q.d.

Ahora existe    [texx]f[/texx],    (la inversa de    [texx]f^{-1}[/texx]),    sea    [texx]y=f(x)[/texx],    entonces    [texx]f^{-1}(y)=x[/texx].


======================================================


Igualmente el teorema de derivación de la función inversa prueba el punto dos, la derivabilidad de    [texx]f[/texx].


======================================================



Para calcular    [texx]f'(0)[/texx],    el tercer punto pedido, como tanto    [texx]f[/texx]    como    [texx]f^{-1}[/texx]    son derivables en    [texx]\mathbb{R}[/texx],    se puede utilizar la regla de la cadena para derivar la expresión    [texx]f\big(f^{-1}(y)\big)=y[/texx]    con lo que se obtiene la igualdad

[texx]f'\big(f^{-1}(y)\big)\cdot{(f^{-1})'(y)}=1[/texx],

de donde

[texx]f'\big(f^{-1}(y)\big)=\displaystyle\frac{1}{(f^{-1})'(y)}[/texx]

y en el caso que nos ocupa, sustituyendo    [texx](f^{-1})'(y)[/texx]    por    [texx]6y^2-6y+6[/texx]    e    [texx]y[/texx]    por    [texx]f(x)[/texx]    se obtiene la expresión

[texx]f'\big(f^{-1}(f(x))\big)=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(x)\big)^2-6f(x)+6}[/texx],

[texx]f'(x)=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(x)\big)^2-6f(x)+6}[/texx].

Para el valor pedido será entonces

[texx]f'(0)=\displaystyle\frac{1}{6\big(f(0)\big)^2-6f(0)+6}[/texx],

sólo falta saber que valor toma la función    [texx]f[/texx]    en    [texx]x=0[/texx].


Sacando factor común en la expresión que nos dan,    [texx]f(x)\cdot{\Big[2\big(f(x)\big)^2-3f(x)+6\Big]}=x[/texx]    y dado que la ecuación
[texx]2\big(f(x)\big)^2-3f(x)+6=0[/texx]    no tiene soluciones reales, sólo puede ser    [texx]f(0)=0[/texx].

El valor pedido entonces es    [texx]\displaystyle\frac{1}{6}[/texx].


Saludos.

CORREGIDO por Luis Fuentes. Muchas gracias.

EDITO.

Lo de la unicidad no me convencen. ¿Alguna sugerencia?
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« Respuesta #61 : 04/07/2018, 06:56:01 am »

Hola

Entonces, recapitulando:

Teorema de derivación de la función inversa.

Sea    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    derivable en el intervalo    [texx]I[/texx]    con derivada    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{I}[/texx].    Entonces    [texx]f[/texx]    es una biyección de     [texx]I[/texx]    sobre el intervalo    [texx]J=f(I)[/texx]    y la función inversa    [texx]f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable
en    [texx]J[/texx].






En el caso que se plantea, sea    [texx]y=f(x)[/texx],    entonces    [texx]f^{-1}(y)=x[/texx],    y por consiguiente

[texx]f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx].
   

Está claro que la función    [texx]f^{-1}[/texx],    (la inversa de    [texx]f[/texx]):

   i)    Se define como    [texx]f^{-1}:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    y viene dada por    [texx]f^{-1}(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx],

   ii)   Es derivable en el intervalo    [texx]\mathbb{R}[/texx]    por ser un polinomio,

   iii)  [texx]\color{red}(\color{black}f^{-1}\color{red})'\color{black}(y)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx].   

   iv)  [texx](f^{-1})'(y)=6y^2-6y+6[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx].




 Ya no está bien como empiezas. No puedes comenzar llamando a una función [texx]f^{-1}[/texx] porque presupones que tiene inversa, antes de haberlo demostrado.

 Entonces comienza llamando:

[texx] h(y)=2y^2-3y^2+6y[/texx]

 y en todo caso si luego pruebas que tiene inversa tendrás derecho a tomar [texx]f(x)=h^{-1}(x)[/texx].

saludos.


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