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Autor Tema: Demostración de la regla de la cadena para polinomios arbitrarios en 1 variable  (Leído 158 veces)
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FabricioEF
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« : 08/07/2018, 08:34:51 pm »

Hola, adjunté unas capturas en las que intento demostrar la validez de la regla de la cadena para dos polinomios arbitrarios:

[texx]f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^n{a_i\,x^i}[/texx]      ,       [texx]g(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^m{\alpha_j\,x^j}[/texx],

de grados [texx]n[/texx] y [texx]m[/texx], respectivamente.


La idea es que en una primera instancia obtengo un desarrollo para [texx](f\circ{g})'(x)[/texx] (es decir, compongo [texx]f[/texx] con [texx]g[/texx], y luego derivo ese nuevo polinomio), y allí he obtenido el resultado correcto (verficado con ejemplos de polinomios); y luego cuando intento desarrollar la expresión de [texx]f'(g(x))\,g'(x)[/texx], donde el resultado debería ser el mismo que el del anterior desarrollo, ahí obtengo un resultado erróneo (también verificado con ejemplos).

Se nota en las capturas que el error está solamente en los coeficientes que acompañan a cada sumatoria, pero no tengo idea de cómo obtener los coeficientes correctos. No se si a alguien se le ocurre una idea, debe haber algo mal planteado en ese segundo desarrollo, pero no me doy cuenta de qué. Si a alguien se le ocurre una mejor forma de hacer esto, será también bienvenido. Muchas gracias.

Consigna:



Correcto:



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Saludos.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 09/07/2018, 08:43:27 am »

Hola

 No he mirado en detalle tus cuentas; a vuela pluma la expresión final tiene un punto de confuso; separas en sumandos, pero en sumandos distintos puede alcanzarse un mismo exponente de [texx]x[/texx], lo cual dificulta comparar dos expresiones distintas.

 Yo creo que para hacer un desarrollo más claro, puedes ceñirte al caso [texx]f(x)=x^n[/texx]; por la linealidad de la derivada de ahí es inmediato pasar al caso general.

Saludos.
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FabricioEF
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« Respuesta #2 : 09/07/2018, 03:48:10 pm »

Ok, pero si yo quisiera probar que vale la regla de la cadena, se supone que no puedo usar el concepto de derivada. Solamente tengo el dato de cómo es la derivada de un polinomio (si [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^n{a_i\,x^i}[/texx], entonces [texx]f'(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^n{i\,a_i\,x^{i-1}}[/texx]).

Pero si yo compongo la suma de dos monomios con otra suma de dos monomios (por ejemplo: [texx]f(x)=(f_1+f_2)(x)=x^{n_1}+x^{n_2}[/texx] con [texx]g(x)=(g_1+g_2)(x)=x^{m_1}+x^{m_2}[/texx]), y derivo me quedarán expresiones no polinómicas para derivar, como las siguientes:

[texx](f\circ{g})'(x)=\frac{d((x^{m_1}+x^{m_2})^{n_1})}{dx}+\frac{d((x^{m_1}+x^{m_2})^{n_2})}{dx}[/texx]

No se, tal vez no lo esté pensando bien, o no sé si entendí lo que me quisiste decir. Por eso yo lo planteé en general para solamente usar el hecho de que cuando necesite sí o sí derivar tenga enfrente una expresión polinómica. Tal vez me hice demasiado lío a la hora de calcular el cuadrado una potencia de una sumatoria. Igual no me deja de llamar la atención el hecho de que no encuentro a simple vista un error en el desarrollo, y las cuentas no dan, cuando deberían darlo, dado que la regla de la cadena es una propiedad más que básica, que vale para cualquier par de funciones diferenciables, como los polinomios. Pero bueno, intentaré pensarlo un rato más. Muchas gracias.
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« Respuesta #3 : 10/07/2018, 08:24:09 am »

Es que la regla de la cadena asegura que

[texx](f\circ{g})'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot{g'(x)}[/texx],

pero la composición de funciones asegura que

[texx](f'\circ{g'})(x)=f'\big(g'(x)\big)[/texx],

así que 

[texx]\big(f\circ{g}\big)'(x)\neq{\big(f'\circ{g'}\big)(x)}[/texx].

¿No?

Saludos.

EDITO.

No se molesten en responder. He interpretado mal la cuestión planteada. He respondido a otra cuestión completamente diferente.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 10/07/2018, 08:57:59 am »

Hola

Ok, pero si yo quisiera probar que vale la regla de la cadena, se supone que no puedo usar el concepto de derivada. Solamente tengo el dato de cómo es la derivada de un polinomio (si [texx]f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^n{a_i\,x^i}[/texx], entonces [texx]f'(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^n{i\,a_i\,x^{i-1}}[/texx]).

Creo que no me has entendido. De ese dato (sin usar el concepto de derivada) es inmediato que:

[texx]f'(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^na_if'_i(x)[/texx] siendo [texx]f_n(i)=x^i[/texx]

Entonces es suficiente que trabajemos con polinomios [texx]f(x)=x^n[/texx].

Cita
Pero si yo compongo la suma de dos monomios con otra suma de dos monomios (por ejemplo: [texx]f(x)=(f_1+f_2)(x)=x^{n_1}+x^{n_2}[/texx] con [texx]g(x)=(g_1+g_2)(x)=x^{m_1}+x^{m_2}[/texx]), y derivo me quedarán expresiones no polinómicas para derivar, como las siguientes:

[texx](f\circ{g})'(x)=\frac{d((x^{m_1}+x^{m_2})^{n_1})}{dx}+\frac{d((x^{m_1}+x^{m_2})^{n_2})}{dx}[/texx]

Ojo, porque el polinomio [texx]g[/texx] si lo tienes que tomar con toda generalidad, mi simplificación sólo se refiere al polinomio [texx]f(x).[/texx]

Entonces si [texx]f(x)=x^n[/texx] y [texx]g(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^m{}\alpha_jx^j[/texx] tienes por una parte:

[texx]f(g(x))=\left(\displaystyle\sum_{j=0}^m{}\alpha_jx^j\right)^n=\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n}[/texx]

y derivando:

[texx](f\circ g)'(x)=\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}(j_1+j_2+\ldots+j_n)\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}[/texx]   (*)

Por otra parte:

[texx]f'(g(x))g'(x)=n\left(\displaystyle\sum_{j=0}^m{}\alpha_jx^j\right)^{n-1}\displaystyle\sum_{j=0}^m{}j\alpha_jx^{j-1}=n\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}j_1\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}[/texx]  (**)

Ahora viene la dificultad de comparar ambas expresiones y darse cuenta de que son la misma; como te comentaba el problema es que no son expresiones donde aparezca claramente y de manera separada el coeficiente que acompaña a [texx]x^k[/texx], ya que el mismo exponente k se repite en diferentes sumandos. Pero podemos hacer lo siguiente en (**):

[texx]n\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}j_1\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}=\\=\underbrace{\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}j_1\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}+\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}j_1\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}+\ldots+\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}j_1\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}}_{n\textsf{ veces}}[/texx]

Y ahora la clave es darse cuenta que por la simetría de los índices [texx]j_1,j_2,\ldots,j_n[/texx] se puede cambiar el [texx]j_1[/texx] inical por cualquier [texx]j_i[/texx]:

[texx]\underbrace{\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}j_1\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}+\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}j_1\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}+\ldots+\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}j_1\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}}_{n\textsf{ veces}}=\\
=\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}j_1\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}+\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}j_2\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}+\ldots+\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}j_n\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}=\\
=\displaystyle\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=0}^m{}(j_1+j_2+\ldots+j_n)\alpha_{j_1}\alpha_{j_2}\ldots \alpha_{j_n}x^{j_1+j_2+\ldots+j_n-1}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #5 : 12/07/2018, 06:48:51 pm »

Ahh, ok. Creo que ya entendí lo que sugerías. Los índices son mudos con lo cual uno puede en principio combinarlos como se desee. No me había dado cuenta de eso. Muchas gracias Luis Fuentes  :sonrisa_amplia:
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