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Autor Tema: Definición de número real  (Leído 1550 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
micabua
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« : 05/07/2018, 02:09:22 pm »

Hola,

¿Cómo definiríais de forma simple un número real a partir del conjunto de los racionales? He construido el conjunto de los naturales, enteros y racionales a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, así que no me vale algo como "son números que tienen infinitos decimales no periódicos", puesto que estoy trabajando con conjuntos y ni siquiera se ha definido nada de decimales.

Entiendo que tiene que ver de alguna forma con el menor conjunto que contiene a los racionales que es completo respecto a sucesiones de Cauchy, pero desconozco algún teorema que pruebe la existencia y unicidad de esto.

Un saludo y gracias!

PD: Pido disculpas porque seguramente este tema se ha tratado con anterioridad. Aún así, la búsqueda del foro me resulta un poco extraña y no he conseguido encontrar nada.
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feriva
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« Respuesta #1 : 05/07/2018, 02:47:51 pm »

Hola,

¿Cómo definiríais de forma simple un número real a partir del conjunto de los racionales? He construido el conjunto de los naturales, enteros y racionales a partir de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, así que no me vale algo como "son números que tienen infinitos decimales no periódicos", puesto que estoy trabajando con conjuntos y ni siquiera se ha definido nada de decimales.

Entiendo que tiene que ver de alguna forma con el menor conjunto que contiene a los racionales que es completo respecto a sucesiones de Cauchy, pero desconozco algún teorema que pruebe la existencia y unicidad de esto.


Un saludo y gracias!

No sé, pero si es a partir de racionales, dada un fracción a/b, lo que se suele es considerar los elementos del producto cartesiano (a,b). No te puedo decir mucho más; se puede buscar por ahí en internet, eso sí.

Mira a ver si te sirve por cortaduras de Dedekind; en le capítulo 2 de aquí y en otros sitios lo tienes; en el foro tienes un hilo de Argentinator, creo recordar, en la sección de lógica


https://www.edificacion.upm.es/personales/raposo/pdf/tesis/tesis-Omar.pdf

Saludos.
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Gustavo
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« Respuesta #2 : 05/07/2018, 04:42:59 pm »

Hola,

Mira también http://fernandorevilla.es/blog/2017/11/11/completacion-de-todo-espacio-metrico/
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 06/07/2018, 05:37:53 am »

Hola

 Mira por aquí también:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,24564.msg97477.html#msg97477

Saludos.
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micabua
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« Respuesta #4 : 06/07/2018, 08:46:13 pm »

Gracias a todos.

Sobre todo me interesa la definición de los reales como conjunto y solo como eso.

Os pongo en situación: A partir de los axiomas de Zermelo he definido los naturales de forma que cada uno de los naturales es un conjunto. El cero sería el conjunto vacío, el 1 sería el conjunto formazo por el 0 (es decir el conjunto del conjunto vacío), el 2 el conjunto formado por el 0 y el 1... etc.  Después a partir de aquí y, como he podido definir el producto cartesiano a partir de los primeros axiomas, defino los enteros como el conjunto formado por una determinada clase de equivalencia en el producto cartesiano NxN.

Con los racionales parecido, defino en [texx] \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\smallsetminus \{0\}) [/texx] otra clase de equivalencia y el conjunto de todas ellas es [texx]\mathbb{Q}[/texx].

Aquí necesitamos una aclaración pues los conjuntos construidos no contienen a los anteriores (porque son en sí una clase de equivalencia del producto cartesiano), pero sí existe un subconjunto en cada uno de ellos que es isomorfo al conjunto anterior. Por ejemplo, en los enteros (no con la intuición usual, no pensándolos como números en sí) existe un subconjunto que es isomorfo a los naturales con la suma y el producto que se definen después.

Vale, pues aquí es dónde tengo el problema. Mi intención es construir [texx]\mathbb{R}[/texx] solo utilizando [texx]\mathbb{Q}[/texx] como conjunto de conjuntos, no sé si me explico. Es de la misma forma que he definido los racionales a partir de los enteros y el producto.

Es obvio que necesito alguna herramienta más (para pasar de Naturales a Enteros he necesitado una suma, y de enteros a racionales un producto), pero no veo claro que sea a través de espacios métricos porque estamos hablando de conjuntos. No lo he leído muy por encima pero lo de los cortes de Dedekind utiliza la intuición de los racionales y sus huecos, pero lo que yo tengo son conjuntos, no sé cómo hablar de huecos.

Es un tema un poco delicado, pido perdón.

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feriva
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« Respuesta #5 : 07/07/2018, 04:39:10 am »

Gracias a todos.

Sobretodo me interesa la definición de los reales como conjunto y solo como eso.

Os pongo en situación: A partir de los axiomas de Zermelo he definido los naturales de forma que cada uno de los naturales es un conjunto. El cero sería el conjunto vacío, el 1 sería el conjunto formazo por el 0 (es decir el conjunto del conjunto vacío), el 2 el conjunto formado por el 0 y el 1... etc.  Después a partir de aquí y, como he podido definir el producto cartesiano a partir de los primeros axiomas, defino los enteros como el conjunto formado por una determinada clase de equivalencia en el producto cartesiano NxN.

Con los racionales parecido, defino en [texx] \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus \{0\}) [/texx] otra clase de quivalencia y el conjunto de todas ellas es [texx]\mathbb{Q}[/texx].

Aquí necesitamos una aclaración pues los conjuntos construidos no contienen a los anteriores (porque son en sí una clase de equivalencia del producto cartesiano), pero sí existe un subconjunto en cada uno de ellos que es isomorfo al conjunto anterior. Por ejemplo, en los enteros (no con la intuición usual, no pensándolos como números en sí) existe un subconjunto que es isomorfo a los naturales con la suma y el producto que se definen después.

Vale, pues aquí es dónde tengo el problema. Mi intención es construir [texx]\mathbb{R}[/texx] solo utilizando [texx]\mathbb{Q}[/texx] como conjunto de conjuntos, no sé si me explico. Es de la misma forma que he definido los racionales a partir de los enteros y el producto.

Es obvio que necesito alguna herramienta más (para pasar de Naturales a Enteros he necesitado una suma, y de enteros a racionales un producto), pero no veo claro que sea a través de espacios métricos porque estamos hablando de conjuntos. No lo he leído muy por encima pero lo de los cortes de Dedekind utiliza la intuición de los racionales y sus huecos, pero lo que yo tengo son conjuntos, no sé cómo hablar de huecos.

Es un tema un poco delicado, pido perdón.



Quizá con el conjunto potencia, el conjunto de partes; pero yo no sé, espera a ver si pasa alguien que sepa.

Saludos.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #6 : 07/07/2018, 07:56:16 am »

Es obvio que necesito alguna herramienta más (para pasar de Naturales a Enteros he necesitado una suma, y de enteros a racionales un producto), pero no veo claro que sea a través de espacios métricos porque estamos hablando de conjuntos. No lo he leído muy por encima pero lo de los cortes de Dedekind utiliza la intuición de los racionales y sus huecos, pero lo que yo tengo son conjuntos, no sé cómo hablar de huecos.

Mira la sección 2.2 de aquí:

https://www.uv.es/ivorra/Libros/Geometria2.pdf

Sáltate todo lo que haga referencia a secciones anteriores, en particular a rectas graduadas. Lo que te queda al saltarte todo eso es autocontenido. Por ejemplo, justo después de la definición 2.6 dice: "Es fácil probar que los conjuntos [texx]\alpha_P[/texx]..."  Sáltate ese párrafo y todos los párrafos como ése. Sólo los necesitarás si quieres justificar la interpretación geométrica de los números reales como los puntos de una recta, pero no para construirlos.

Se trata de la construcción de Dedekind de los números reales, según la cual, un número real no es más que un subconjunto [texx]\alpha[/texx] de [texx]\mathbb Q[/texx] que cumpla las propiedades siguientes:

  • Si [texx]r\in \alpha[/texx] y [texx]s\leq r[/texx], entonces [texx]s\in \alpha[/texx].
  • Si [texx]r\in \alpha[/texx], existe un [texx]s\in \alpha[/texx] tal que [texx]r<s[/texx].
  • [texx]\alpha\neq \emptyset[/texx] y [texx]\alpha\neq \mathbb Q[/texx].

¿Te parece una definición suficientemente "conjuntista"?

En 2.11 verás cómo puedes identificar parte de los números reales con los números racionales. Si te saltas 2.12, 2.13 y 2.14, cuyo contenido es geométrico, en 2.15 tienes la definición de suma de números reales. Te saltas 2.18 y luego tienes la definición de producto.

Tampoco tendrías que ver ningún inconveniente en construir los números reales mediante sucesiones de Cauchy. Sólo tienes que definir [texx]d:\mathbb Q\times \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q[/texx] mediante [texx]d(r, s)=|r-s|[/texx] y con eso ya tienes en [texx]\mathbb Q[/texx] una estructura de espacio métrico, que es el punto de partida de las construcciones que te han propuesto. Esa definición de distancia te permite definir el concepto de sucesión de Cauchy de números racionales, al igual que la de sucesión convergente. Entonces puedes definir [texx]\mathbb R[/texx] como el conjunto de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales respecto de la relación por la que dos sucesiones están relacionada si y sólo si su diferencia tiende a [texx]0[/texx].

Seguro que lo que tienes ya sobre números racionales es más que suficiente para llevar a cabo esta construcción, cuya ventaja respecto de la de Dedekind es generalizable a espacios métricos arbitrarios, lo cual tiene gran interés.
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feriva
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« Respuesta #7 : 08/07/2018, 06:55:53 am »



Es obvio que necesito alguna herramienta más (para pasar de Naturales a Enteros he necesitado una suma, y de enteros a racionales un producto

Por lo que dice Carlos y por lo que he estado mirando por ahí, necesitas lo mismo que has usado junto a la idea de cerradura; es lo que yo veo, que usar decisivamente la cerradura es lo más destacable para resolver el tema.

Si has llegado a definir esto con los enteros

[texx]\mathbb{Z}^{+}=\{(n,m);n>m\};\,\mathbb{Z}^{-}=\{(n,m);n<m\}
 [/texx]

análogamente podrás usar

[texx]\mathbb{Q}^{-}=\{(q,r);q<r\}
 [/texx]

Si tienes, por ejemplo, que “-3” es la clase [texx]\{(0,3);(1,4);(2,5)...\}
 [/texx], entonces en teoría (supongo yo) la misma idea vale para [texx]\mathbb{Q}
 [/texx] aunque no puedas poner un ejemplo tan fácilmente.

Por otra parte, la interpretación de la distancia con enteros es asimilable, si tienes “-3” y sus clases, en vez de eso, tomas esto [texx]\{(3,0);(4,1);(5,2)...\}
 [/texx], el elemento “3”, que es lo mismo en valor absoluto; e imagino que, análogamente, en ZFC la idea vale para [texx]\mathbb{Q}
 [/texx].

Ya sólo queda asumir que dados un “q” y un “r” distintos, la distancia entre ellos, o diferencia en valor absoluto, es siempre otro racional; racional distinto de cero pero todo lo pequeño que quieras (es racional por la cerradura al hacer la operación).

A partir de ahí existen otros elementos que tienen compañeros extremadamente parecidos y cuya distancia con éstos, por muy “separados” que estén (por muchos números que haya entre medias) siempre es menor que |q-r|; con lo que alguien no pertenece a [texx]\mathbb{Q}
 [/texx].

Lo distinto, principalmente, está en que, aunque en [texx]\mathbb{Z}
 [/texx] no existe elemento mínimo, sí existe una distancia mínima, el 1 (es una propiedad de los elementos que definen al conjunto ceta). En cuanto aparece una diferencia menor que 1 en valor absoluto, alguien no es entero; surge la existencia de un elemento (o al menos uno) que no pertenece a [texx]\mathbb{Z}
 [/texx]. En [texx]\mathbb{Q}
 [/texx] no tienes mínimo, pero lo “sustuyes” con la propiedad de cerradura; la distancia siempre es un elemento que pertenece a [texx]\mathbb{Q}
 [/texx], como muy pequeña; y cuando aparece otra cosa, aparecen otros elementos.

Si lo miras así, no hay tanta diferencia en la construcción, es más que nada algo conceptual.

Saludos.
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micabua
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« Respuesta #8 : 10/07/2018, 09:36:40 am »

Gracias a todos.


Tampoco tendrías que ver ningún inconveniente en construir los números reales mediante sucesiones de Cauchy. Sólo tienes que definir [texx]d:\mathbb Q\times \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q[/texx] mediante [texx]d(r, s)=|r-s|[/texx] y con eso ya tienes en [texx]\mathbb Q[/texx] una estructura de espacio métrico, que es el punto de partida de las construcciones que te han propuesto. Esa definición de distancia te permite definir el concepto de sucesión de Cauchy de números racionales, al igual que la de sucesión convergente. Entonces puedes definir [texx]\mathbb R[/texx] como el conjunto de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales respecto de la relación por la que dos sucesiones están relacionada si y sólo si su diferencia tiende a [texx]0[/texx].

Seguro que lo que tienes ya sobre números racionales es más que suficiente para llevar a cabo esta construcción, cuya ventaja respecto de la de Dedekind es generalizable a espacios métricos arbitrarios, lo cual tiene gran interés.

Creo que esta es la opción más fácil de entender que veo, pero ¿cómo está definido ese valor absoluto si estamos hablando de conjuntos? Tengo definida las operaciones suma y multiplicación, pero sigue siendo un conjunto.



A partir de ahí existen otros elementos que tienen compañeros extremadamente parecidos y cuya distancia con éstos, por muy “separados” que estén (por muchos números que haya entre medias) siempre es menor que |q-r|; con lo que alguien no pertenece a [texx]\mathbb{Q}
 [/texx].


Esto no lo acabo de entender.

De todas formas me quedo con el conjunto de clases de las sucesiones de Cauchy.

Gracias.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #9 : 10/07/2018, 09:53:47 am »

Creo que esta es la opción más fácil de entender que veo,

Pues ahí me has sorprendido. Pensé que la construcción de Dedekind te gustaría más, porque es más "conjuntista". Define los números reales como subconjuntos de [texx]\mathbb Q[/texx]. Si te extraña la definición concreta te puedo explicar la idea de fondo, pero es muy natural. Eso sí, el precio por la simplicidad conjuntista es que la construcción de la suma y el producto de números reales se vuelve más laboriosa.

pero ¿cómo está definido ese valor absoluto si estamos hablando de conjuntos?

A menudo dices "estoy hablando de conjuntos" como si eso fuera una limitación de algún tipo. Ahí tienes algún concepto mal digerido. Abre el libro de matemáticas (serio) que quieras, trate de lo que trate, y todo lo que verás en él serán conjuntos. En la formalización moderna de las matemáticas todo son conjuntos. Decir "sólo hablo de conjuntos" es como decir "sólo hablo de todo". Cada vez que digas: "pero eso no es un conjunto", te estarás equivocando.

Tengo definida las operaciones suma y multiplicación, pero sigue siendo un conjunto.

¿El qué sigue siendo un conjunto? No sé a qué te refieres, pero, sea lo que sea, sí, seguro que sigue siendo un conjunto, porque no encontrarás nada en matemáticas que no sea un conjunto. (Bueno, si entras en cuestiones de lógica puedes encontrar ciertos conceptos metamatemáticos que no son conjuntos, pero eso sería ya hilar muy fino. Por ejemplo, una ecuación no es un conjunto, porque es una afirmación sobre la igualdad de dos conjuntos, pero sí que es un conjunto el conjunto de los objetos que cumplen la ecuación.)

En cuanto a tu pregunta, ¿cómo defino el valor absoluto de un número racional? Pues

[texx]|r| =\begin{cases} \phantom-r & \text{si}& r\geq 0\\ -r & \text{si}& r<0.\end{cases}[/texx]

Y, antes de que te me eches encima, aclaro que esto (por supuesto) es la definición de un conjunto, concretamente de una aplicación [texx]|\ |: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q[/texx] y, más concretamente, del conjunto

[texx]|\ | = \{(r, s)\in \mathbb Q\times \mathbb Q\mid (r\geq 0\land s=r)\lor (r<0\land s = -r)\}.[/texx]
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« Respuesta #10 : 10/07/2018, 12:25:49 pm »

Hola, perdón por entrometerme en tu hilo micabua. Veo muy interesante tus inquietudes y las respuestas que te dan.

Y, antes de que te me eches encima, aclaro que esto (por supuesto) es la definición de un conjunto, concretamente de una aplicación [texx]|\ |: \mathbb Q\longrightarrow \mathbb Q[/texx] y, más concretamente, del conjunto

[texx]|\ | = \{(r, s)\in \mathbb Q\times \mathbb Q\mid (r\geq 0\land s=r)\lor (r<0\land s = -r)\}.[/texx]

¿Por qué no utilizás la disyunción exclusiva ([texx]\veebar[/texx])? Con la definición habitual jamás se cumplirán ambas condiciones, y el cero se lo pone en alguna de las dos ramas, no en ambas. ¿O es redundante en lógica formal?

Saludos
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« Respuesta #11 : 10/07/2018, 12:30:17 pm »

¿Por qué no utilizás la disyunción exclusiva ([texx]\veebar[/texx])? Con la definición habitual jamás se cumplirán ambas condiciones, y el cero se lo pone en alguna de las dos ramas, no en ambas. ¿O es redundante en lógica formal?

Por eso, porque no es necesario. En efecto, podría haber puesto una disyunción exclusiva, pero es igual de correcto no ponerla. De hecho, no recuerdo haber necesitado escribir una disyunción exclusiva en ningún momento de mi vida escribiendo matemáticas.
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« Respuesta #12 : 10/07/2018, 01:02:43 pm »

Hola

Mi participación la escribiré en un spoiler así no opaco el tema central.

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Saludos
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« Respuesta #13 : 10/07/2018, 01:30:50 pm »

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« Respuesta #14 : 10/07/2018, 04:49:00 pm »




A partir de ahí existen otros elementos que tienen compañeros extremadamente parecidos y cuya distancia con éstos, por muy “separados” que estén (por muchos números que haya entre medias) siempre es menor que |q-r|; con lo que alguien no pertenece a [texx]\mathbb{Q}
 [/texx].



Esto no lo acabo de entender.

De todas formas me quedo con el conjunto de clases de las sucesiones de Cauchy.

Gracias.


Pues eso vengo a explicar, una sucesión de Cauchy, éstas no tienen por qué ser convergente en [texx]\mathbb{Q}[/texx], puede converger a un número irracional; sí tienen obligación de ser acotadas pero no de que lo sean en [texx]\mathbb{Q}[/texx].
Cuando eso ocurre hay un momento en la sucesión a partir del cual el valor de la distancia entre números ya no es un número racional; puede ser infinitesimal y no pertenecer a los reales, pero los números entre los que se halla la distancia sí pertenecen ambos a los reales; así no importa nada esto, ya que, los elementos del conjunto que estás construyendo no son las distancias, no son los huecos entre los reales, porque no los hay, sino los números que hay entre ellas. 

Saludos. 
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« Respuesta #15 : 10/07/2018, 06:32:23 pm »


Pues ahí me has sorprendido. Pensé que la construcción de Dedekind te gustaría más, porque es más "conjuntista". Define los números reales como subconjuntos de [texx]\mathbb Q[/texx]. Si te extraña la definición concreta te puedo explicar la idea de fondo, pero es muy natural. Eso sí, el precio por la simplicidad conjuntista es que la construcción de la suma y el producto de números reales se vuelve más laboriosa.


Me expliqué mal. Me gusta más para poder explicarla a un público que no sepa muchas matemáticas, puesto que he de dar una charla pronto al respecto. La otra es más conjuntista y encajaría mejor con el contenido de mi charla pero igual no es tan fácil de visualizar a primera vista.


A menudo dices "estoy hablando de conjuntos" como si eso fuera una limitación de algún tipo. Ahí tienes algún concepto mal digerido. Abre el libro de matemáticas (serio) que quieras, trate de lo que trate, y todo lo que verás en él serán conjuntos. En la formalización moderna de las matemáticas todo son conjuntos. Decir "sólo hablo de conjuntos" es como decir "sólo hablo de todo". Cada vez que digas: "pero eso no es un conjunto", te estarás equivocando.


Tienes toda la razón del mundo. En mi cabeza los naturales, reales, racionales, no son conjuntos. Pero claro si lo desarrollo de esta forma he de empezar a pensar así. Por ejemplo, lo siguiente que tengo que desarrollar son los cardinales y me resulta difícil "gestionar" las ideas si no me aparto de todo el formalismo y pienso en las reales, por ejemplo, con mi sentido intuitivo y con pocos formalismos.

Lo otro que me has comentado está entendido, Carlos, muchas gracias, era solo un "cambio de chip".




Pues eso vengo a explicar, una sucesión de Cauchy, éstas no tienen por qué ser convergente en [texx]\mathbb{Q}[/texx], puede converger a un número irracional; sí tienen obligación de ser acotadas pero no de que lo sean en [texx]\mathbb{Q}[/texx].
Cuando eso ocurre hay un momento en la sucesión a partir del cual el valor de la distancia entre números ya no es un número racional; puede ser infinitesimal y no pertenecer a los reales, pero los números entre los que se halla la distancia sí pertenecen ambos a los reales; así no importa nada esto, ya que, los elementos del conjunto que estás construyendo no son las distancias, no son los huecos entre los reales, porque no los hay, sino los números que hay entre ellas. 

Saludos. 

Te he marcado en negrita lo que no entiendo del todo. ¿A qué te refieres con ser un número infinitesimal? Entiendo que es un número "tan pequeño como quieras", pero desconozco el formalismo de esto (sino es que es ese [texx]\epsilon[/texx] en la definición de límite).

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« Respuesta #16 : 10/07/2018, 07:02:28 pm »




Pues eso vengo a explicar, una sucesión de Cauchy, éstas no tienen por qué ser convergente en [texx]\mathbb{Q}[/texx], puede converger a un número irracional; sí tienen obligación de ser acotadas pero no de que lo sean en [texx]\mathbb{Q}[/texx].
Cuando eso ocurre hay un momento en la sucesión a partir del cual el valor de la distancia entre números ya no es un número racional; puede ser infinitesimal y no pertenecer a los reales, pero los números entre los que se halla la distancia sí pertenecen ambos a los reales; así no importa nada esto, ya que, los elementos del conjunto que estás construyendo no son las distancias, no son los huecos entre los reales, porque no los hay, sino los números que hay entre ellas. 

Saludos. 

Te he marcado en negrita lo que no entiendo del todo. ¿A qué te refieres con ser un número infinitesimal? Entiendo que es un número "tan pequeño como quieras", pero desconozco el formalismo de esto (sino es que es ese [texx]\epsilon[/texx] en la definición de límite).



Pienso que, en el límite, la diferencia tiene que ser un infinitesimal (aunque sí aviso de que no es algo que me haya dicho alguien, es una deducción). La diferencia entre dos números racionales muy parecidos, puede ser un número todo lo pequeño que quieras, pero siempre racional (por la cerradura) y, por tanto, finito. Así, mientras sólo tengas eso... no te salen más que racionales, que ya los tienes construidos. Pero para que la diferencia sea de este tipo 0,000... con infinitos ceros y “detrás” que sé yo, es necesario que los números a restar no sean racionales. Entonces, buscar la diferencia (o la distancia, mejor dicho) es una herramienta para que aparezcan los irracionales al “romper”, precisamente, la cerradura de [texx]\mathbb{Q}
 [/texx] y completar el conjunto [texx]\mathbb{R}
 [/texx].

Saludos.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #17 : 10/07/2018, 07:07:50 pm »

Me expliqué mal. Me gusta más para poder explicarla a un público que no sepa muchas matemáticas, puesto que he de dar una charla pronto al respecto. La otra es más conjuntista y encajaría mejor con el contenido de mi charla pero igual no es tan fácil de visualizar a primera vista.

Al contrario. La construcción de Dedekind es mucho más fácil de visualizar a primera vista que la de Cantor. Si has estudiado la construcción de los números enteros, entonces habrás visto que consiste en definir un número entero [texx]n[/texx] como el conjunto de todos los pares  de números naturales cuya resta es [texx]n[/texx]. Por ejemplo,

[texx]-5 = \{(0, 5), (1, 6), (2, 7), \ldots\}[/texx]

es el conjunto de todos los pares de números naturales cuya resta es [texx]-5[/texx]. En el mismo sentido, un número real (según Dedekind) se define como el conjunto de todos los números racionales menores que él. Por ejemplo,

[texx]\sqrt 2=\{r\in \mathbb Q\mid r<\sqrt 2\}[/texx].

Claro, esto es circular y no sirve como definición, pero podemos reescribirlo como

[texx]\sqrt 2 = \{r\in \mathbb Q\mid r<0 \lor r^2<2\}[/texx]

y así ya no es circular. En general, un número real tiene que ser un subconjunto [texx]\alpha\subset \mathbb Q[/texx] tal que si [texx]r\in \alpha[/texx] y [texx]s<r[/texx] entonces [texx]s\in \alpha[/texx]. Esta propiedad simplemente dice que todos los números racionales a la izquierda de un elemento de [texx]\alpha[/texx] está en [texx]\alpha[/texx], es decir, que cualquier elemento de [texx]\alpha[/texx] es menor que cualquier elemento que no está en [texx]\alpha[/texx] o, dicho de otro modo, que todos los elementos de [texx]\alpha[/texx] quedan a la izquierda de los elementos que no están en [texx]\alpha[/texx].

Pero no podemos definir [texx]\mathbb R[/texx] como todos los subconjuntos de [texx]\mathbb Q[/texx] con esta propiedad, pues entonces tendríamos que

[texx]\{r\in \mathbb Q\mid r< 7\}[/texx]  y  [texx]\{r\in \mathbb Q\mid r\leq 7\}[/texx]

serían dos números reales distintos, ambos identificables con el número racional [texx]7[/texx]. Como queremos que los números reales sean los conjuntos de números racionales menores (y no menores o iguales) que ellos mismos, tenemos que exigir también que sean conjuntos sin máximo, lo cual excluye al segundo del par anterior.

Esto nos da la segunda propiedad:

Si [texx]r\in \alpha[/texx] existe un [texx]s\in \alpha[/texx] tal que [texx]r<s[/texx].

Esto sólo dice que [texx]\alpha[/texx] no puede tener máximo.

Por último, hay que excluir por razones obvias a [texx]\emptyset[/texx] y a [texx]\mathbb Q[/texx], y con eso tienes la definición de número real (según Dedekind): los números reales son los subconjuntos de [texx]\mathbb Q[/texx] distintos de [texx]\emptyset[/texx] y [texx]\mathbb Q[/texx] con la propiedad de que no tienen máximo y de modo que todos los elementos de [texx]\alpha[/texx] quedan a la izquierda de números racionales que no están en [texx]\alpha[/texx].

Esto te da un conjunto totalmente ordenado por la inclusión. Si luego identificas cada número racional [texx]r[/texx] con el número real

[texx]i(r) = \{s\in \mathbb Q\mid s<r\}[/texx],

puedes considerar que [texx]\mathbb Q\subset \mathbb R[/texx], y entonces tiene sentido decir que, para todo [texx]\alpha\in \mathbb R[/texx], se cumple que

[texx]\alpha = \{r\in \mathbb Q\mid i(r)<\alpha\}[/texx]

es decir, que [texx]\alpha[/texx] está formado por los números racionales que, identificados con números reales, son menores que [texx]\alpha[/texx].

Por ejemplo, lo siguiente que tengo que desarrollar son los cardinales y me resulta difícil "gestionar" las ideas si no me aparto de todo el formalismo y pienso en las reales, por ejemplo, con mi sentido intuitivo y con pocos formalismos.

No entiendo a qué te refieres.
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micabua
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« Respuesta #18 : 11/07/2018, 02:35:54 pm »



[texx]\sqrt 2 = \{r\in \mathbb Q\mid r<0 \lor r^2<2\}[/texx]

y así ya no es circular.

Y cómo puedes definir, por ejemplo, [texx]\pi[/texx]?


No entiendo a qué te refieres.

Me refiero a que primero hago la construcción formal de los naturales, enteros, racionales y reales pero luego no pienso en ellos como conjuntos. Pienso en ellos como elementos de una recta.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #19 : 11/07/2018, 05:33:56 pm »

Y cómo puedes definir, por ejemplo, [texx]\pi[/texx]?

Podríamos definirlo usando cualquiera de las sucesiones conocidas que tienden a [texx]\pi[/texx], pero sería algo artificial. Poco podrías propar de [texx]\pi[/texx] a partir de una definición así. Lo natural es construir primero los números reales y demostrar sus propiedades básicas que permiten definir, por ejemplo, las funciones trigonométricas, y definir [texx]\pi[/texx] como el menor número real positivo que anula a la función seno, o algo así.

En cualquier caso, si lo que quieres es hacerte una idea concreta de qué es [texx]\pi[/texx] de acuerdo con la construcción de Dedekind, se trata de la unión de los conjuntos

[texx]\{r\in \mathbb Q\mid r<3\}[/texx]

[texx]\{r\in \mathbb Q\mid r<3.1\}[/texx]

[texx]\{r\in \mathbb Q\mid r<3.14\}[/texx]

[texx]\{r\in \mathbb Q\mid r<3.141\}[/texx]

etc.

Me refiero a que primero hago la construcción formal de los naturales, enteros, racionales y reales pero luego no pienso en ellos como conjuntos. Pienso en ellos como elementos de una recta.

Como todo el mundo.
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