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Autor Tema: Probabilidad igualdad  (Leído 453 veces)
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« : 25/06/2018, 10:38:57 am »

Hola
Si dos eventos [texx]A=[a,b],B=[c,d][/texx] y dos variables aleatorias continuas [texx]X,Y[/texx] idénticamente distribuidas. Qué relación hay entre

[texx]P(X\cap{}A,X\cap{}B)[/texx] y [texx] P(X\cap{}A,Y\cap{}B)[/texx]

Por ejemplo, si [texx]a<c<b<d[/texx], entonces creo que

[texx]P(X\cap{}A,X\cap{}B)=\displaystyle\int_{c}^{b}f(x)dx[/texx]

[texx] P(X\cap{}A,Y\cap{}B)=\displaystyle\int_{a}^{b}\displaystyle\int_{c}^{d}f(x,y)dxdy[/texx]

Si [texx]A=[x_1,x_2],B=[y_1,y_2][/texx]

entonces

[texx]P(X\in A \cap Y \in B)=C(F_X(y_2),F_X(x_2))-C(F_X(y_1),F_X(x_2))-C(F_X(y_2),F_X(x_1))+C(F_X(y_1),F_X(x_1))[/texx], no?

siendo [texx]C(u,v)[/texx] la cópula de [texx]F(x,y).[/texx]


Saludos
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« Respuesta #1 : 27/06/2018, 08:18:32 am »

Hola

 De acuerdo en todo.

 Mejor la notación [texx]P(X\in A)[/texx] que [texx]P(X\cap A).[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 27/06/2018, 10:28:00 am »

Supongamos que [texx]A=[0,x],B=[0,y][/texx], y dos variables aleatorias continuas y positivas [texx]X,Y[/texx] me interesa analizar el comportamiento de (por ejemplo si es mayor o menor a uno, si es monótona, etc.)

[texx]LR(A,B)=\displaystyle\frac{P(Y \in B/ X\in A)}{P(Y\in B/X\in A')}[/texx]

i) si [texx]P(Y\leq{}y/X\leq{}x)[/texx] es creciente en [texx]x[/texx] para todo [texx]y[/texx] o

ii) [texx]P(X\geq{}x,Y\geq{}x)\geq{}P(X\geq{}x)P(Y\geq{}x)[/texx] o

iii) [texx]P(Y>y/X>x)[/texx] es creciente en [texx]x[/texx] para todo [texx]y[/texx] o

iv)  [texx]P(Y\leq{}y/X>x)\leq{}P(Y\leq{}y)[/texx]
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« Respuesta #3 : 28/06/2018, 02:04:22 pm »

Si se cumple iv) entonces

[texx]LR(A,B)\geq{}\displaystyle\frac{P(Y\leq{}y/X\leq{}x)}{P(Y\leq{}y)}[/texx], y si se cumpliese además i) entonces

la cota inferior máxima de [texx]LR(A,B)=\displaystyle\frac{P(Y\leq{}y/X\leq{}x)}{P(Y\leq{}y)}[/texx], pero en principio no sabríamos si es mayor o menor a uno, no?

Creo que si tenemos

[texx]\displaystyle\frac{P(A/B)}{P(A)}>1[/texx] si [texx]P(A\cap{}B)>\displaystyle\frac{P(A)}{P(B)}[/texx].

Si [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] fueran idénticamente distribuidas entonces si [texx]y<x[/texx] entonces [texx]LR(A,B)>1[/texx], no?

Además, si defino

[texx]P(X\leq{}x,Y\leq{}y)=C(u,v)[/texx], siendo [texx]C[/texx] la cópula y [texx]u,v[/texx] las correspondientes distribuciones. Defino

[texx]C_{2/1}(u,v)=\displaystyle\frac{dC}{du}[/texx] entonces

[texx]P(Y\leq{}y/X\leq{}x)=C_{2/1}(F_Y(y),F_X(x))[/texx], está bien?

Aunque la he visto definida para [texx]X=x[/texx], ver adjunto.


* Copulas.pdf (728.32 KB - descargado 23 veces.)
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« Respuesta #4 : 29/06/2018, 08:59:35 am »

Hola

Si se cumple iv) entonces

[texx]LR(A,B)\geq{}\displaystyle\frac{P(Y\leq{}y/X\leq{}x)}{P(Y\leq{}y)}[/texx], y si se cumpliese además i) entonces

la cota inferior máxima de [texx]LR(A,B)=\displaystyle\frac{P(Y\leq{}y/X\leq{}x)}{P(Y\leq{}y)}[/texx], pero en principio no sabríamos si es mayor o menor a uno, no?

No entiendo bien que quieres decir con "la cota inferior máxima" y tampoco estoy seguro de si estás dando o no una candidata a esa cota.

¿Exactamente que es fijo y que es variable para la cota que buscas?.

Cita
Creo que si tenemos

[texx]\displaystyle\frac{P(A/B)}{P(A)}>1[/texx] si [texx]P(A\cap{}B)>\displaystyle\frac{P(A)}{P(B)}[/texx].

No. Es [texx]P(A\cap B)>P(A)P(B).[/texx]

Cita
Si [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] fueran idénticamente distribuidas entonces si [texx]y<x[/texx] entonces [texx]LR(A,B)>1[/texx], no?

Si no me equivoco depende de la relación de dependencia entre [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #5 : 29/06/2018, 09:10:04 am »

Quiero decir, bajo qué condiciones (si se puede hallar las distribuciones, mejor)

[texx]LR(A,B)=\displaystyle\frac{P(Y\leq{}y/X\leq{}x)}{P(Y\leq{}y)}[/texx]

Y lo variables es [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx]
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« Respuesta #6 : 29/06/2018, 10:08:08 am »

Hola

Quiero decir, bajo qué condiciones (si se puede hallar las distribuciones, mejor)

[texx]LR(A,B)=\displaystyle\frac{P(Y\leq{}y/X\leq{}x)}{P(Y\leq{}y)}[/texx]

Y lo variables es [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx]


La igualdad:

[texx]\displaystyle\frac{P(Y\leq{}y|X\leq{}x)}{P(Y\leq{}y)}=\displaystyle\frac{P(Y\leq{}y|X\leq{}x)}{P(Y\leq{}y|X\leq x')}[/texx]

se tiene al menos si [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] son independientes.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 29/06/2018, 12:25:07 pm »

Puede ser que

[texx]P(Y\leq{}y|X\leq{}x)=\displaystyle\frac{C(u,v)}{u}[/texx], siendo [texx]u=F(x),v=G(y)[/texx],

y


[texx]P(Y\leq y|X>x)=\displaystyle\frac{v-C(u,v)}{1-u}[/texx]?


está bien?

Creo que si, pues

[texx]LR=\displaystyle\frac{(1-u)C(u,v)}{u(v-C(u,v))}[/texx] y si [texx]C(u,v)=uv[/texx] entonces [texx]LR=1[/texx]

Creo que tengo un problema de notación, pero creo que mi razonamiento es correcto, mirar

https://stats.stackexchange.com/questions/163594/how-to-find-copula-based-conditional-probability-puv-v
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« Respuesta #8 : 03/07/2018, 05:43:38 am »

Hola

Puede ser que

[texx]P(Y\leq{}y|X\leq{}x)=\displaystyle\frac{C(u,v)}{u}[/texx], siendo [texx]u=F(x),v=G(y)[/texx],

y


[texx]P(Y\leq y|X>x)=\displaystyle\frac{v-C(u,v)}{1-u}[/texx]?


está bien?

Si. Es inmediato. Por definición de Cópula:

[texx]P(Y\leq y,X\leq x)=C(F(x),G(y))[/texx]

Por definición de probabilidad condicionada:

[texx]P(Y\leq Y|X\leq x)=\dfrac{P(Y\leq y|X\leq x)}{P(X\leq x)}=\dfrac{C(F(x),G(y))}{F(x)}[/texx]

[texx]P(Y\leq Y|X> x)=\dfrac{P(Y\leq y|X> x)}{P(X> x)}=\dfrac{P(Y\leq y)-P(Y\leq y|X\leq x)}{1-P(X\leq x)}=\dfrac{G(y)-C(F(x),G(y))}{1-F(x)}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #9 : 03/07/2018, 09:11:29 am »

Ahora, supongamos que la cópula sea [texx]C(u,v)=min{u,v}[/texx] entonces

[texx]LR=\displaystyle\frac{(1-u)C(u,v)}{u(v-C(u,v))}[/texx] puede ir de [texx]+\infty[/texx] a [texx]\displaystyle\frac{1-u}{v-u}[/texx], no?
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« Respuesta #10 : 03/07/2018, 12:39:12 pm »

Hola

Ahora, supongamos que la cópula sea [texx]C(u,v)=min{u,v}[/texx] entonces

[texx]LR=\displaystyle\frac{(1-u)C(u,v)}{u(v-C(u,v))}[/texx] puede ir de [texx]+\infty[/texx] a [texx]\displaystyle\frac{1-u}{v-u}[/texx], no?


Si.

Saludos.
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« Respuesta #11 : 05/07/2018, 11:21:55 am »

Ahora, si me interesa analizar

[texx]P(y_1\leq{}Y\leq{}y_2|x_1\leq X\leq{}x_2)[/texx] y [texx]P(y_1\leq{}Y\leq{}y_2|X>x_2)[/texx] con cópulas, cómo sería? con [texx]0<y_1<y_2,0<x_1<x_2[/texx], creo que habría que hacer una transformación

[texx]U=X-x_1,V=Y-y_1[/texx], no?

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« Respuesta #12 : 06/07/2018, 04:42:33 am »

Hola

Ahora, si me interesa analizar

[texx]P(y_1\leq{}Y\leq{}y_2|x_1\leq X\leq{}x_2)[/texx] y [texx]P(y_1\leq{}Y\leq{}y_2|X>x_2)[/texx] con cópulas, cómo sería? con [texx]0<y_1<y_2,0<x_1<x_2[/texx], creo que habría que hacer una transformación

[texx]U=X-x_1,V=Y-y_1[/texx], no?

No, no hace falta transformación.

[texx]P((y_1\leq Y\leq y_2)\cap(x_1\leq X\leq x_2))=P(X\leq x_2,Y\leq y_2)-P(X\leq x_1,Y\leq y_2)-P(X\leq x_2,Y\leq y_1)+P(X\leq x_1,Y\leq y_1)[/texx]  (*)

y esas cuatro probabilidades se expresan de la forma habitual a través de las cópulas:

[texx]P(X\leq a,Y\leq b)=C(F_x(a),F_y(b))[/texx]

La misma idea para todas las probabilidades implicadas en el cálculo de esas probabilidades condicionadas.

Saludos.

P.D. Se suponen v.a. continuas.
P.D.D. La descomposición de la probabilidad (*) se ve clara si uno hace un dibujo.
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« Respuesta #13 : 06/07/2018, 09:36:20 am »

Si ahora defino

[texx]LR=\displaystyle\frac{P(Y\leq{}y|X\leq{}x,Z\leq{}z)}{P(Y\leq{}y|X>x,Z>z)}[/texx]

cómo se expresaría con cópulas. Creo que debería ser una de tres variables, no?.

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« Respuesta #14 : 06/07/2018, 11:05:52 am »

Hola

Si ahora defino

[texx]LR=\displaystyle\frac{P(Y\leq{}y|X\leq{}x,Z\leq{}z)}{P(Y\leq{}y|X>x,Z>z)}[/texx]

cómo se expresaría con cópulas. Creo que debería ser una de tres variables, no?.

Tienes:

[texx]P(Y\leq y|X\leq x,Z\leq z)=\dfrac{P(Y\leq y,X\leq x,Z\leq z)}{P(X\leq x,Z\leq z)}[/texx]

donde:

[texx]P(Y\leq y,X\leq x,Z\leq z)=C(F_x(x),F_y(y),F_z(z))[/texx]

[texx]P(X\leq x,Z\leq z)=C(F_x(x),1,F_z(z))[/texx]

[texx]P(Y\leq y|X> x,Z> z)=\dfrac{P(Y\leq y,X> x,Z> z)}{P(X> x,Z> z)}[/texx]


donde:

[texx]P(Y\leq y,X> x,Z> z)=P(Y\leq y)-P(Y\leq y,X\leq x)-P(Y\leq y,Z\leq z)+P(Y\leq y,X\leq x,Z\leq z)=\\
\quad \\=C(1,F_y(y),1)-C(F_x(x),F_y(y),1)-C(1,F_y(y),F_z(z))+C(F_x(x),F_y(y),F_z(z))[/texx]

[texx]P(X>x,Z>z)=1-P(X\leq x)-P(Z\leq z)+P(X\leq x,Z\leq z)=1-C(F_x(x),1,1)-C(1,1,F_z(z))+C(F_x(x),1,F_z(z))[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #15 : 06/07/2018, 06:55:21 pm »

Dos preguntas:
1) Creo que se cumple para cualquier cópulas bivariada (continuas?) que

[texx]\displaystyle\frac{u+v-1}{u}\leq{}LR\leq{}\displaystyle\frac{1-u}{v-u}[/texx] y esas desigualdades no pueden ser mejoradas, es decir, se cumplen en realidad con igualdad, no?

2) Si, me dicen que

[texx]P(Y\leq{}y|X\leq{}x)[/texx] sigue una (o es igual?, ver pag 87 del archivo adjunto) [texx]N(\mu_a-t,\sigma^2)[/texx] y que

[texx]P(Y\leq{}y|X>x)[/texx] sigue una [texx]N(\mu_b-t,\sigma^2)[/texx] siendo [texx]t[/texx] un parámetro. Puedo hallar [texx]C(u,v)[/texx] con esta información?




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« Respuesta #16 : 09/07/2018, 08:54:44 am »

Hola

Dos preguntas:
1) Creo que se cumple para cualquier cópulas bivariada (continuas?) que

[texx]\displaystyle\frac{u+v-1}{u}\leq{}LR\leq{}\displaystyle\frac{1-u}{v-u}[/texx] y esas desigualdades no pueden ser mejoradas, es decir, se cumplen en realidad con igualdad, no?

No. Por ejemplo si [texx]C(u,v)=0[/texx] para algún valor de [texx](u,v)[/texx] entonces no se cumple la cota inferior; la cota superior es cierta bajo la condición adicional de que [texx]v\geq u[/texx].

Cita
2) Si, me dicen que

[texx]P(Y\leq{}y|X\leq{}x)[/texx] sigue una (o es igual?, ver pag 87 del archivo adjunto) [texx]N(\mu_a-t,\sigma^2)[/texx] y que

[texx]P(Y\leq{}y|X>x)[/texx] sigue una [texx]N(\mu_b-t,\sigma^2)[/texx] siendo [texx]t[/texx] un parámetro. Puedo hallar [texx]C(u,v)[/texx] con esta información?

No. De hecho, o me estoy perdiendo en algo, o ni siquiera tiene sentido el planteamiento. [texx]N(\mu_a-t,\sigma^2)[/texx] no depende para nada ni de [texx]x[/texx], ni de [texx]y[/texx], ni de [texx]u[/texx], ni de [texx]v[/texx]. ¿Qué se supone que hay que entender cuando decimos que sigue una [texx]N(\mu_a-t,\sigma^2)[/texx]?.

Saludos.
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« Respuesta #17 : 12/07/2018, 02:51:40 pm »

En la literatura sobre cópulas he visto que se pone

[texx]P(U\leq{}u,V\leq{}v)=C(u,v)[/texx], siendo [texx]U=F(x),V=G(y)[/texx], esto es totalmente distinto a

[texx]P(X\leq{}x,Y\leq{}y)=C(u,v)[/texx] siendo [texx]u=F(x),v=G(y)[/texx], no?

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« Respuesta #18 : 13/07/2018, 05:15:34 am »

Hola

En la literatura sobre cópulas he visto que se pone

[texx]P(U\leq{}u,V\leq{}v)=C(u,v)[/texx], siendo [texx]U=F(x),V=G(y)[/texx], esto es totalmente distinto a

[texx]P(X\leq{}x,Y\leq{}y)=C(u,v)[/texx] siendo [texx]u=F(x),v=G(y)[/texx], no?

Es lo mismo; estamos tomando [texx]U=F(X)[/texx] e [texx]V=G(Y)[/texx], si [texx]u=f(x)[/texx] y [texx]v=g(y)[/texx] se tiene que:

[texx]P(X\leq x,Y\leq y)=P(F(X)\leq F(x),F(Y)\leq F(y))=P(U\leq u,V\leq v)=C(u,v)[/texx]

Saludos.
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