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Autor Tema: Oposiciones Asturias 2018: problema 4  (Leído 707 veces)
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Kudasai
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« : 24/06/2018, 07:19:14 pm »

Hola a todos, os dejo aquí el problema de Geometria que ha salido

Sea un triángulo rectángulo de lados 6, 8 y 10:
(a) demuestra que existe una única recta que biseca el área y el perímetro del triángulo (75% de 1.5)
(b) encuéntrala (25% de 1.5)
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 25/06/2018, 05:51:22 am »

Hola

Hola a todos, os dejo aquí el problema de Geometria que ha salido

Sea un triángulo rectángulo de lados 6, 8 y 10:
(a) demuestra que existe una única recta que biseca el área y el perímetro del triángulo (75% de 1.5)
(b) encuéntrala (25% de 1.5)

El perímetro del triángulo es [texx]6+8+10=24.[/texx] Cualquier recta que biseque al triángulo cortara a dos de sus lados; llamémosles a tales lados [texx]a,b[/texx]. Si [texx]\alpha[/texx] es el ángulo del vértice que determinan el área del triángulo rectángulo es:

[texx]S=\dfrac{1}{2}ab\sin(\alpha)[/texx]

Ahora si [texx]x,y[/texx] son la distancia de corte de la recta bisectora al vértice tiene que cumplirse que:

[texx]x+y=12[/texx] (el semiperímetro)
[texx]\dfrac{1}{2}xy\sin(\alpha)=\dfrac{1}{4}ab\sin(\alpha)[/texx] es decir [texx]xy=\dfrac{1}{2}ab[/texx].



Entonces hay tres posibles casos dependiendo de los dos lados que corte la recta bisectora:

- Si corta a los lados [texx]6,8[/texx].

[texx]x+y=12[/texx]
[texx]xy=24[/texx]

Puede verse que se obtiene [texx]y>8[/texx] lo cual no es posible, porque el corte quedaría fuera del triángulo.

- Si corta a los lados [texx]8,10[/texx].

[texx]x+y=12[/texx]
[texx]xy=40[/texx]

Puede verse que se no tiene soluciones reales.

- Si corta a los lados [texx]6,10[/texx]:

[texx]x+y=12[/texx]
[texx]xy=30[/texx]

Se obtiene [texx]x=6-\sqrt{6}[/texx] e [texx]y=6-\sqrt{6}[/texx] y es la única solución.

Saludos.

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jose.antonio
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« Respuesta #2 : 10/09/2018, 03:05:31 pm »

Hola a todos, os dejo aquí el problema de Geometria que ha salido

Sea un triángulo rectángulo de lados 6, 8 y 10:
(a) demuestra que existe una única recta que biseca el área y el perímetro del triángulo (75% de 1.5)
(b) encuéntrala (25% de 1.5)

Hola, ¿tienes el resto de los enunciados del examen de Asturias 2018? Si los puedes compartir, sería fenomenal.
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