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Autor Tema: Máximo y mínimo de una función trigonométrica  (Leído 787 veces)
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NatsuFT
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« : 21/06/2018, 02:01:32 am »

Hola, gente. ¿Cómo están?

Tengo un problema sacando los extremos de la siguiente función:

[texx]y=2sinx-cosx[/texx]

Lo que intenté hacer fue esto:

[texx]y^{\prime}=sinx+2cosx[/texx]

[texx]\sqrt[ ]{1-cos^2x}+2cosx=0[/texx]

[texx](2cosx)^2=(\sqrt[ ]{1-cos^2x})^2[/texx]

[texx]4cos^2x=1-cos^2x[/texx]

[texx]5cos^2x=1[/texx]

[texx]cosx=\pm{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}}{5}}[/texx]

A pesar de que obtengo ese resultado, la respuesta debería ser: [texx]\pm{\sqrt[ ]{5}}[/texx]

Si alguien fuera tan amable de marcar cuál es mi error, se lo agradecería mucho.

Gracias desde ya.

¡Saludos!
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martiniano
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« Respuesta #1 : 21/06/2018, 04:12:27 am »

Hola.
La solución que dices que es la buena no puede ser un coseno porque es mayor que 1.
Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 21/06/2018, 06:17:01 am »

Hola

Tengo un problema sacando los extremos de la siguiente función:

[texx]y=2sinx-cosx[/texx]

Lo que intenté hacer fue esto:

[texx]y^{\prime}=sinx+2cosx[/texx]

[texx]\sqrt[ ]{1-cos^2x}+2cosx=0[/texx]

[texx](2cosx)^2=(\sqrt[ ]{1-cos^2x})^2[/texx]

[texx]4cos^2x=1-cos^2x[/texx]

[texx]5cos^2x=1[/texx]

[texx]cosx=\pm{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}}{5}}[/texx]

A pesar de que obtengo ese resultado, la respuesta debería ser: [texx]\pm{\sqrt[ ]{5}}[/texx]

Si alguien fuera tan amable de marcar cuál es mi error, se lo agradecería mucho.

Lo que tu has hallado son los puntos críticos donde se anula la derivada y puntos candidatos a alcanzar los extremos.

En concreto:

- Si [texx]cos(x)=\sqrt{5}{5}[/texx] entonces para que [texx]y'=sinx+2cos(x)=0[/texx], se tiene que [texx]sin(x)=-2\sqrt{5}{5}[/texx].
En esos puntos el valor de la función es:

[texx]y=2sin(x)-cos(x)=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}=-\sqrt{5}[/texx]

- Si [texx]cos(x)=-\sqrt{5}{5}[/texx] entonces para que [texx]y'=sinx+2cos(x)=0[/texx], se tiene que [texx]sin(x)=2\sqrt{5}{5}[/texx].
En esos puntos el valor de la función es:

[texx]y=2sin(x)-cos(x)=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}[/texx]

Entonces el valor máximo de la función es [texx]\sqrt{5}[/texx] y el mínimo [texx]-\sqrt{5}[/texx].

Saludos.
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NatsuFT
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« Respuesta #3 : 22/06/2018, 07:46:41 pm »

Hola

Lo que tu has hallado son los puntos críticos donde se anula la derivada y puntos candidatos a alcanzar los extremos.

En concreto:

- Si [texx]cos(x)=\sqrt{5}{5}[/texx] entonces para que [texx]y'=sinx+2cos(x)=0[/texx], se tiene que [texx]sin(x)=-2\sqrt{5}{5}[/texx].
En esos puntos el valor de la función es:

[texx]y=2sin(x)-cos(x)=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}=-\sqrt{5}[/texx]

- Si [texx]cos(x)=-\sqrt{5}{5}[/texx] entonces para que [texx]y'=sinx+2cos(x)=0[/texx], se tiene que [texx]sin(x)=2\sqrt{5}{5}[/texx].
En esos puntos el valor de la función es:

[texx]y=2sin(x)-cos(x)=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}+\dfrac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}[/texx]

Entonces el valor máximo de la función es [texx]\sqrt{5}[/texx] y el mínimo [texx]-\sqrt{5}[/texx].

Saludos.

¡Gracias! Con razón nunca llegaba al resultado, eso me pasa por no estar atento. :sonrisa_amplia:

¡Saludos!
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