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Autor Tema: Variación continua y cota de las raíces de un polinomio respecto a un parámetro  (Leído 657 veces)
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« : 20/06/2018, 08:33:07 am »

Hola,

Sea [texx]p_{a}(x)[/texx] un polinomio cúbico, cuyos coeficientes dependen del parámetro [texx]a[/texx].

Por ejemplo:
[texx]p_a(x) = a^2 x^3 + 19a[/texx]
[texx]p_a(x) = a^3 x^3 + 19a^2+1[/texx]

(en la práctica, el grado con el que aparece [texx]a[/texx] en el polinomio está acotado por [texx]3[/texx]).

Supongamos que [texx]a\in{[0,1]}[/texx]

Supongamos también que conozco todas las raíces del polinomio [texx]p_{1/2}(x)[/texx] (es decir, para [texx]a=1/2[/texx])

Mi intuición me dice, que si considero las raíces del polinomio [texx]p_{1/2+\delta}(x)[/texx] (es decir [texx]a=1/2+\delta[/texx]), éstas no deben andar muy lejos de las raíces que ya conozco para [texx]a=1/2[/texx], una a una.

Mi pregunta es si conocéis algún trabajo, libro o procedimiento que pueda seguir para dar buenas cotas para las raíces de [texx]p_{1/2+\delta}(x)[/texx] en función de las raíces que conozco para [texx]p_{1/2}(x).[/texx]


Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 20/06/2018, 08:48:49 am »

Hola

Hola,

Sea [texx]p_{a}(x)[/texx] un polinomio cúbico, cuyos coeficientes dependen del parámetro [texx]a[/texx].

Por ejemplo:
[texx]p_a(x) = a^2 x^3 + 19a[/texx]
[texx]p_a(x) = a^3 x^3 + 19a^2+1[/texx]

(en la práctica, el grado con el que aparece [texx]a[/texx] en el polinomio está acotado por [texx]3[/texx]).

Supongamos que [texx]a\in{[0,1]}[/texx]

Supongamos también que conozco todas las raíces del polinomio [texx]p_{1/2}(x)[/texx] (es decir, para [texx]a=1/2[/texx])

Mi intuición me dice, que si considero las raíces del polinomio [texx]p_{1/2+\delta}(x)[/texx] (es decir [texx]a=1/2+\delta[/texx]), éstas no deben andar muy lejos de las raíces que ya conozco para [texx]a=1/2[/texx], una a una.

Mi pregunta es si conocéis algún trabajo, libro o procedimiento que pueda seguir para dar buenas cotas para las raíces de [texx]p_{1/2+\delta}(x)[/texx] en función de las raíces que conozco para [texx]p_{1/2}(x).[/texx]

En general si tienes:

[texx]f(a,x)=0[/texx]  (*)

y conoces [texx](a_0,x_0)[/texx] con [texx]f(a_0,x_0)=0[/texx] puedes estimar como varía la raíz [texx]x_0[/texx] cerca de [texx]a_0[/texx] a través de la derivada de [texx]x[/texx] respecto de a que puedes hallar derivando implícitamente en (*) considerando [texx]x[/texx] como función de [texx]a[/texx].

Por ejemplo si tienes:

[texx]a^2x^2+19a=0[/texx]

Derivando respecto de [texx]a[/texx] te queda:

[texx]2ax^2+2a^2x\cdot x'+19=0[/texx]

[texx]x'=\dfrac{-19-2ax^2}{2a^2x}[/texx]

Saludos.
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