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Autor Tema: Estimación de cotas  (Leído 670 veces)
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« : 24/06/2018, 11:30:26 pm »

Hola me ayudarían con estas cotas no entendí cuando las explicaron, no entiendo muy bien como las tomaron
Sea la integral

[texx]\displaystyle\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1-\cos t}{\mid t \mid ^{1+2s}}dt=\int_{\mid t\mid <1} \dfrac{1-\cos t}{\mid t\mid^{1+2s}}dt +
\int_{\mid t \mid\geq 1}\dfrac{1-\cos t}{\mid t \mid ^{1+2s}} dt[/texx]

Se tiene que

[texx]\displaystyle 0\leq \int_{\mid t\mid\geq 1} \dfrac{1-\cos t}{\mid t\mid^{1+2s}}dt\leq 4 \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{t^{1+2s}}dt=\dfrac{2}{s} [/texx]

Y

[texx]\displaystyle \int_{\mid t\mid<1} \dfrac{1-\cos t}{\mid t \mid ^{1+2s}}dt -\int_{\mid t\mid } \dfrac{t^{2}}{2\mid t\mid^{1+2s}}dt\leq C\int_{\mid t\mid<1} \dfrac{\mid t\mid^{3}}{\mid t\mid^{1+2s}}dt=  \dfrac{2C}{3-2s} [/texx]
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 25/06/2018, 04:17:44 am »

[texx]\displaystyle 0\leq \int_{\mid t\mid\geq 1} \dfrac{1-\cos t}{\mid t\mid^{1+2s}}dt\leq 4 \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{t^{1+2s}}dt=\dfrac{2}{s} [/texx]

De la desigualdad [texx]0\le 1-\cos t\le 2[/texx] para todo [texx]t[/texx] real se deduce

          [texx]\displaystyle 0\leq \int_{\mid t\mid\geq 1} \dfrac{1-\cos t}{\mid t\mid^{1+2s}}dt\le 2\int_{\mid t\mid\geq 1} \dfrac{dt}{\mid t\mid^{1+2s}}[/texx]

y al ser la función [texx]\mid t\mid^{1+2s}[/texx] par,

          [texx]\displaystyle\int_{\mid t\mid\geq 1} \dfrac{dt}{\mid t\mid^{1+2s}}=2\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{t^{1+2s}}dt.[/texx]

Por otra parte y si [texx]s >0[/texx], obtenemos por integración inmediata:

          [texx]\displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{t^{1+2s}}dt=\ldots=\displaystyle\frac{1}{2s}.[/texx]

Intenta algo para la segunda desigualdad.
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