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Autor Tema: Polinomios y matrices  (Leído 213 veces)
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alucard
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« : 15/06/2018, 01:42:31 am »

Tengo el siguiente enunciado

Sea [texx]A\in R^{3\times 3}/ dim(Nu(A))=1[/texx] tal que su autoespacio asociado al autovalor 1 es el complemento ortogonal  de la [texx]Nu(A)[/texx] considerando producto interno canónico. Verifique que [texx]p(A)=0[/texx] para cualquier polinomio de la forma  [texx]p(t)=t^n-t[/texx] donde [texx]t\in  N[/texx]

La verdad que no se ni por donde arrancar :triste:
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 15/06/2018, 04:21:18 am »

Hola

Tengo el siguiente enunciado
Sea [texx]A\in R^{3\times 3}/ dim(Nu(A))=1[/texx] tal que su autoespacio asociado al autovalor 1 es el complemento ortogonal  de la [texx]Nu(A)[/texx] considerando producto interno canónico. Verifique que [texx]p(A)=0[/texx] para cualquier polinomio de la forma  [texx]p(t)=t^n-t[/texx] donde [texx]t\in  N[/texx]

Los vectores del núcleo son los autovectores asociados al cero. Si [texx]dim(Nu(A))=1[/texx] entonces hay un espacio de dimensión [texx]1[/texx] de autovectores aosociados al cero. Y su complemento ortogonal (de dimensión [texx]3-1=2[/texx]) está asociado al autovector [texx]1[/texx].

La conclusión es que la matriz diagonaliza por semejanza; en particular existe una matriz inversible [texx]P[/texx] tal que:

[texx]A=P\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{pmatrix}P^{-1}[/texx]

Ahora es inmediato concluir.

Saludos.

P.D. El argumento puede modificarse y enfocarse desde otros puntos de vista (usando el polinomio mínimo, o con menos artillería simplemente la definición de autovector). La elección depende de los resultados previos que te hayan explicado y puedas usar.
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alucard
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« Respuesta #2 : 15/06/2018, 08:43:13 am »

Gracias Luis ,  la teoría que dispongo es ,el teorema de Hamilton Halley,  Graham Smith. Igualmente no me queda claro como concluir el ejercicio con la respuesta que me dejaste
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 15/06/2018, 08:52:06 am »

Hola

 
Gracias Luis ,  la teoría que dispongo es ,el teorema de Hamilton Halley,  Graham Smith. Igualmente no me queda claro como concluir el ejercicio con la respuesta que me dejaste

Pues tienes que [texx]A=PDP^{-1}[/texx]. De ahí [texx]A^n=PD^nP^{-1}[/texx] para cualquier [texx]n[/texx]. Y para cualquier polinomio:

[texx]p(A)=Pp(D)P^{-1}[/texx]

Por tanto basta que pruebes que [texx]D^n-D=0[/texx] para cualquier [texx]n[/texx].

También directamente del hecho de que [texx]1[/texx] y [texx]0[/texx] son los únicos autovalores cada uno de ellos con igual multiplicidad algebraica y geométrica se deduce que el polinomio mínimo de [texx]A[/texx] es  [texx]x(x-1)[/texx] y cualquier múltiplo de él anula a [texx]A[/texx].

Saludos.

P.D.

[texx]D=\begin{pmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{pmatrix}[/texx]
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