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Autor Tema: Problema de autovalores y autovectores  (Leído 154 veces)
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alucard
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« : 15/06/2018, 01:22:09 am »

Hola , tengo el siguiente ejercicio :

Sea [texx]A=\begin{bmatrix}{1}&{k}&{1}\\{k}&{1}&{k}\\{k}&{k}&{1}\end{bmatrix}\quad k\in R[/texx]

Si [texx]B=A^2-2A+I[/texx] encuentre todos los [texx]v\in R^3[/texx] tales que [texx]Bv=4k^2v[/texx]

Intente lo siguiente

 [texx]Bv=4k^2v\to (B-4k^2)v=0[/texx]

B esta en funcion de A, si reemplazo me queda un quilombo de cuentas , luego intente sacar los autovalores de A pero el determinante queda horrible , lleno de k por todos lados  :llorando: , ¿alguna sugerencia?
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Abdulai
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« Respuesta #1 : 15/06/2018, 01:59:43 am »


Fijate que  [texx]B=A^2-2A+I=\left(A-I\right)^2[/texx]

[texx]\therefore\quad (B-4k^2I)v=\left(\left(A-I\right)^2-4k^2I\right)v = \left(A-I-2kI\right)\left(A-I+2kI\right)v[/texx]

debe ser 0 alguno de los dos determinantes (mas fáciles de calcular)

[texx]\text{det}\left(A-I-2kI\right)=3k^2(1-k)[/texx]  o   [texx]\text{det}\left(A-I+2kI\right)=k^2(5k-1)[/texx]


Después sigue el cálculo de los autovectores...

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alucard
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« Respuesta #2 : 15/06/2018, 02:05:41 am »




[texx]\text{det}\left(A-I-2kI\right)=3k^2(1-k)[/texx]  o   [texx]\text{det}\left(A-I+2kI\right)=k^2(5k-1)[/texx]


Después sigue el cálculo de los autovectores...



como hiciste para que quede  [texx]3k^2(1-k)[/texx] y [texx]k^2(5k-1)[/texx]
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Abdulai
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« Respuesta #3 : 15/06/2018, 02:16:29 am »

Calculé los determinantes, nada mas que no escribí los pasos sino directamente el resultado final.
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feriva
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« Respuesta #4 : 15/06/2018, 03:59:53 am »

Hola , tengo el siguiente ejercicio :

Sea [texx]A=\begin{bmatrix}{1}&{k}&{1}\\{k}&{1}&{k}\\{k}&{k}&{1}\end{bmatrix}\quad k\in R[/texx]

Si [texx]B=A^2-2A+I[/texx] encuentre todos los [texx]v\in R^3[/texx] tales que [texx]Bv=4k^2v[/texx]

Intente lo siguiente

 [texx]Bv=4k^2v\to (B-4k^2)v=0[/texx]

B esta en funcion de A, si reemplazo me queda un quilombo de cuentas , luego intente sacar los autovalores de A pero el determinante queda horrible , lleno de k por todos lados  :llorando: , ¿alguna sugerencia?


Hola. Sin hacer nada, sólo por la pinta, me da la sensación de que se puede aplicar el teorema de Hamilton- Cayley; mira a ver

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cayley-Hamilton

Saludos.



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« Respuesta #5 : 15/06/2018, 08:39:07 am »

Pero con ese teorema no sería más complicada la cuenta? No entiendo bien se aplicaría al ejercicio?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #6 : 15/06/2018, 08:46:20 am »

Hola

Pero con ese teorema no sería más complicada la cuenta? No entiendo bien se aplicaría al ejercicio?

Si, en este caso yo tampoco creo que el Teorema de Cayley ayude especialmente.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 15/06/2018, 10:26:34 am »

Pero con ese teorema no sería más complicada la cuenta? No entiendo bien se aplicaría al ejercicio?

A primera vista había pensado que a lo mejor se podrían sacar los coeficientes del polinomio característico usando esto [texx]A^{2}-2A+I-B=(0)
 [/texx] el teorema [texx]A^{3}+bA^{2}+cA+dI=(0)
 [/texx], y quizá también el polinomio en lambda por si se pudieran identificar coeficientes; pero he estado haciendo operaciones y no veo cómo; por eso te decía que “a primera vista...”

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #8 : Hoy a las 06:18:44 am »


B esta en funcion de A, si reemplazo me queda un quilombo de cuentas

Pero ¿probaste? Porque no es tanto como parece a simple vista; yo fui haciéndolo ayer entre noticia y noticia del mundial y tampoco se tarda demasiado.

[texx]B=\left(\begin{array}{ccc}
k^{2}+k & k & k^{2}\\
k^{2} & 2k^{2} & k\\
k^{2} & k^{2} & k^{2}+k
\end{array}\right)
 [/texx]

Lo único un poco pesado es la matriz al cuadrado, quitarle 2A y sumarle la identidad es casi inmediato.

Y, luego, al plantear la ecuación de cada coordenada, divides por k y los cuadrados se te van; y ya es ir operando

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Saludos.
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