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Autor Tema: Calcular una suma utilizando la fórmula de Euler-Maclaurin  (Leído 257 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Juan Sánchez
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« : 14/06/2018, 01:55:10 pm »

Quiero calcular la suma [texx]\displaystyle\sum_{j=1}^n{j^3}[/texx] utilizando la fórmula de Euler-Maclaurin. No tengo ni idea de cómo hacerlo. Hasta ahora, había utilizado la fórmula de Euler-Maclaurin para usar la extrapolación de Richardson a la regla de los trapecios compuesta (que es el método de Romberg) porque necesitaba una expansión asintótica de la función. No la he utilizado nunca para calcular una suma finita tan concreta como [texx]\displaystyle\sum_{j=1}^n{j^3}[/texx].
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« Respuesta #1 : 14/06/2018, 02:22:08 pm »

Quiero calcular la suma [texx]\displaystyle\sum_{j=1}^n{j^3}[/texx] utilizando la fórmula de Euler-Maclaurin. No tengo ni idea de cómo hacerlo. Hasta ahora, había utilizado la fórmula de Euler-Maclaurin para usar la extrapolación de Richardson a la regla de los trapecios compuesta (que es el método de Romberg) porque necesitaba una expansión asintótica de la función. No la he utilizado nunca para calcular una suma finita tan concreta como [texx]\displaystyle\sum_{j=1}^n{j^3}[/texx].

En ese caso la fórmula te da el valor exacto.

Aplicando : https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula#The_formula

[texx]\displaystyle\sum_{j=1}^{n}j^3 = \displaystyle\int_{1}^{n}x^3 dx +\dfrac{n^3+1}{2}+\frac{1}{12}3 \left(n^2-1 \right)[/texx]  pues el resto resulta 0

[texx]\displaystyle\sum_{j=1}^{n}j^3 = \frac{1}{4}\left(n^4-1\right)+\frac{1}{2}\left(n^2+1\right)+\frac{1}{4}\left(n^2-1\right) = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 [/texx]
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Juan Sánchez
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« Respuesta #2 : 14/06/2018, 11:32:47 pm »

Por qué es exacta? Qué pasa con el valor el término del error $R_p$?
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Abdulai
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« Respuesta #3 : 15/06/2018, 01:13:07 am »


El error , depende de la derivada enésima de la función. En un polinomio de grado 3 como en tu caso [texx]E_4=-\displaystyle\int_{1}^{n}\;\underbrace{\dfrac{d^4(x^3)}{dx^4}}_{=0} \;\dfrac{P_4(x)}{4!}dx = 0[/texx]


(Justamente tu caso es uno de los ejemplos del link de Wikipedia)
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