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Autor Tema: Maximizar área huerto.  (Leído 311 veces)
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lindtaylor
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« : 13/06/2018, 06:08:27 pm »

Se desea cercar un huerto rectangular. El huerto tiene a partir de una de sus esquinas ya construidas, en línea recta, una cerca de 50 metros de largo y se disponen de 120 metros de reja adicionales para cercar el resto del terreno. Determine las dimensiones del rectángulo que maximizan el área del huerto.

No entiendo la redacción de este problema. ¿Cómo se hace?
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....
delmar
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« Respuesta #1 : 13/06/2018, 08:59:07 pm »

Hola

Los 120 m de reja adicional, han de agregarse a la cerca de 50 m para formar un rectángulo. Suponiendo que a la cerca construida de 50m se le agregan x m, el lado opuesto a la cerca construida tendrá una longitud de [texx]50+x[/texx], considerando que el otro lado del rectángulo tiene una longitud y. Se tendrá que los 120m adicionales se distribuirán en las siguientes longitudes : [texx]x, \ y, \ 50+x, \ y[/texx]. Por lo tanto se establece la siguiente relación : [texx]120=x+y+(50+x)+y\Rightarrow{y=35-x}[/texx] Ec. 1

Utilizando la Ec. 1 el área del rectángulo es : [texx]A=(50+x)y=(50+x) \ (35-x)=1750-15x-x^2[/texx]

En consecuencia A es una función de x, es  continua y derivable en el eje real, entonces si existe un máximo, este se presenta en un punto crítico.

Derivando e igualando a cero para hallar el punto crítico : [texx]A'(x)=-15-2x=0\Rightarrow{x=7.5}[/texx]

Finalmente se utiliza la segunda derivada, para demostrar que en el punto crítico hay un máximo.Con este conocimiento y con el valor de x, se obtiene y de la Ec. 1 y finalmente se obtiene el área máxima.

Saludos
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lindtaylor
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« Respuesta #2 : 14/06/2018, 07:38:47 pm »

Hola

Los 120 m de reja adicional, han de agregarse a la cerca de 50 m para formar un rectángulo. Suponiendo que a la cerca construida de 50m se le agregan x m, el lado opuesto a la cerca construida tendrá una longitud de [texx]50+x[/texx], considerando que el otro lado del rectángulo tiene una longitud y. Se tendrá que los 120m adicionales se distribuirán en las siguientes longitudes : [texx]x, \ y, \ 50+x, \ y[/texx]. Por lo tanto se establece la siguiente relación : [texx]120=x+y+(50+x)+y\Rightarrow{y=35-x}[/texx] Ec. 1

Utilizando la Ec. 1 el área del rectángulo es : [texx]A=(50+x)y=(50+x) \ (35-x)=1750-15x-x^2[/texx]

En consecuencia A es una función de x, es  continua y derivable en el eje real, entonces si existe un máximo, este se presenta en un punto crítico.

Derivando e igualando a cero para hallar el punto crítico : [texx]A'(x)=-15-2x=0\Rightarrow{x=7.5}[/texx]

Finalmente se utiliza la segunda derivada, para demostrar que en el punto crítico hay un máximo.Con este conocimiento y con el valor de x, se obtiene y de la Ec. 1 y finalmente se obtiene el área máxima.

Saludos


-15-2x=0 te entrega un x negativo...
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 15/06/2018, 04:46:12 am »

Hola

Hola

Los 120 m de reja adicional, han de agregarse a la cerca de 50 m para formar un rectángulo. Suponiendo que a la cerca construida de 50m se le agregan x m, el lado opuesto a la cerca construida tendrá una longitud de [texx]50+x[/texx], considerando que el otro lado del rectángulo tiene una longitud y. Se tendrá que los 120m adicionales se distribuirán en las siguientes longitudes : [texx]x, \ y, \ 50+x, \ y[/texx]. Por lo tanto se establece la siguiente relación : [texx]120=x+y+(50+x)+y\Rightarrow{y=35-x}[/texx] Ec. 1

Utilizando la Ec. 1 el área del rectángulo es : [texx]A=(50+x)y=(50+x) \ (35-x)=1750-15x-x^2[/texx]

En consecuencia A es una función de x, es  continua y derivable en el eje real, entonces si existe un máximo, este se presenta en un punto crítico.

Derivando e igualando a cero para hallar el punto crítico : [texx]A'(x)=-15-2x=0\Rightarrow{x=7.5}[/texx]

Finalmente se utiliza la segunda derivada, para demostrar que en el punto crítico hay un máximo.Con este conocimiento y con el valor de x, se obtiene y de la Ec. 1 y finalmente se obtiene el área máxima.

Saludos


-15-2x=0 te entrega un x negativo...

Si efectivamente, quedaría una solución [texx]x=-7.5[/texx] que no es admisible.

Recordemos que estamos bajo la restricción [texx]x,y\leq 0[/texx], [texx]x+y\geq 35[/texx] de donde [texx]0\leq x\leq 35[/texx].

Lo que muestra el cálculo de delmar es que no hay puntos críticos (candidatos a máximo o mínimo) en el interior del intervalo [texx](0,35).[/texx] Por tanto el máximo se alcanza en los extremos, bien para [texx]x=0[/texx] ó bien para [texx]x=35[/texx]. Es inmediato ver que es para [texx]x=0[/texx].

Saludos.
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