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alicenujan
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« : 13/06/2018, 10:50:15 am »

Sean: [texx]n[/texx] un entero positivo impar, y [texx]x_1,x_2,\cdots ,x_n[/texx] números reales no negativos.
Demostrar que \[ \min_{i=1,\ldots,n} (x_i^2+x_{i+1}^2) \leq \max_{j=1,\ldots,n} (2x_jx_{j+1}) \]donde [texx]x_{n+1}=x_1[/texx].

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martiniano
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« Respuesta #1 : 16/06/2018, 03:52:17 am »

No está bien. Disculpadme

Hola. Creo que lo tengo, aunque me despista que el enunciado me salga cierto para [texx]n\neq{}2[/texx].
Me
Consideremos primero, sin pérdida de generalidad, que [texx]min\left\{x_i^2+x_{i+1}^2|1\leq{}i\leq{}n\right\}=x_1^2+x_2^2[/texx] . Y también que [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx].

Veamos ahora que el enunciado es cierto para [texx]n=3[/texx]. Simplemente, si no fuese cierto y fuese:

[texx]x_1^2+x_2^2>2x_2x_3\geq{}2x_2^2\,\Rightarrow{}\,x_1>x_2[/texx], y esto contradice la suposición inicial.

Si [texx]n\geq{3}[/texx], y el enunciado fuese falso, entonces:

[texx]x_1^2+x_2^2>2x_2x_3\Rightarrow{}2x_3x_1\geq{}x_1^2+x_2^2>2x_2x_3\Rightarrow{}\,x_1>x_2[/texx] contradiciendo lo mismo que antes.

Como el enunciado es trivialmente cierto para [texx]n=1[/texx], entonces será cierto para todos los impares.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 16/06/2018, 04:20:56 pm »

Este tampoco está bien. Se explica más abajo...

Hola buenas. Segundo intento, a ver si ahora sí  :sonrisa:.

El enunciado es trivialmente cierto para [texx]n=1[/texx], entonces si es falso en general habrá un [texx]n[/texx] impar mayor que 1 para el que será falso pero verdadero para todos los impares menores que [texx]n[/texx]. Sean [texx]x_1,x_2,...,x_n[/texx] reales positivos que no cumplen el enunciado. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que [texx]min\{x_i^2+x_{i+1}^2|1=i=n\}=x_1^2+x_2^2[/texx] y también que [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx].

Como estamos suponiendo que el enunciado es falso, entonces [texx]\forall{}i\leq{}n\;x_1^2+x_2^2>2x_ix_{i+1}[/texx]. Pero como es cierto para todo impar [texx]k[/texx] menor que [texx]n[/texx] debe cumplirse que:

[texx]min(x_1^2+x_2^2,x_k^2+x_1^2)\leq{}2x_kx_1[/texx]

Supongamos, ahora también, que para cierto [texx]k [/texx] impar menor que [texx]n-2[/texx] se cumple que (para 1 se cumple trivialmente):

[texx]x_k=x_1[/texx]
[texx]x_{k+1}\geq{}x_2[/texx]

Entonces si se cumplen estas dos condiciones también se cumplirán:

[texx]x_{k+3}\geq{}x_2[/texx]
[texx]x_{k+2}=x_1[/texx]

Véamoslo. Empecemos con lo de que:

[texx]min(x_1^2+x_2^2,x_{k+2}^2+x_1^2)\leq{}2x_{k+2}x_1[/texx]

Consideremos ahora dos casos:

A)   [texx]x_{k+2}\geq{}x_2\;\Rightarrow{\;}min(x_1^2+x_2^2,x_{k+2}^2+x_1^2)=x_1^2+x_2^2\;\Rightarrow{\;}2x_{k+2}x_1\geq{}x_1^2+x_2^2>2x_{k+2}x_{k+1}\;\Rightarrow{\;}x_1>x_{k+1}[/texx] .  Absurdo

B)   [texx]x_{k+2}<x_2\;\Rightarrow{\;}min(x_1^2+x_2^2,x_{k+2}^2+x_1^2)=x_{k+2}^2+x_1^2\;\Rightarrow{\;}2x_{k+2}x_1\geq{}x_{k+2}^2+x_1^2\;\Rightarrow{\;}x_{k+2}^2+x_1^2-2x_{k+2}x_1\leq{}0\;\Rightarrow{\;}x_{k+2}=x_1[/texx]

Y también:

[texx]x_1^2+x_2^2\leq{}x_{k+3}^2+x_{k+2}^2=x_{k+3}^2+x_{1}^2\;\Longrightarrow{\;}x_{k+3}\geq{}x_2[/texx]

Entonces por inducción se llega a que [texx]x_{n-1}\geq{}x_2[/texx] obteniendo, finalmente, la siguiente contradicción:

[texx]2x_{n-1}x_n\geq{}2x_2^2>x_1^2+x_2^2[/texx]

A ver qué os parece. Saludos.
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« Respuesta #3 : 16/06/2018, 04:48:38 pm »

Gracias martiniano por tu ayudo, leo bién tu solución en estos dias y si tengo dudas las escribo. :sonrisa:
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« Respuesta #4 : 18/06/2018, 07:12:44 am »

Hola

Hola buenas. Segundo intento, a ver si ahora sí  :sonrisa:.

El enunciado es trivialmente cierto para [texx]n=1[/texx], entonces si es falso en general habrá un [texx]n[/texx] impar mayor que 1 para el que será falso pero verdadero para todos los impares menores que [texx]n[/texx]. Sean [texx]x_1,x_2,...,x_n[/texx] reales positivos que no cumplen el enunciado. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que [texx]min\{x_i^2+x_{i+1}^2|1=i=n\}=x_1^2+x_2^2[/texx] y también que [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx].

No me queda claro porque puedes suponer [texx]x_1<x_2.[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #5 : 18/06/2018, 07:52:37 am »

Hola.

Supón [texx]min\{x_i^2+x_{i+1}^2\}=x_p^2+x_{p+1}^2[/texx]

Si [texx]x_p<x_{p+1}[/texx] reordena los números haciendo [texx] x'_j=x_{p-1+j}[/texx]

Si [texx]x_p>x_{p+1}[/texx] reordena los números haciendo [texx] x'_j=x_{p+2-j}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #6 : 18/06/2018, 07:59:15 am »

Hola

Supón [texx]min\{x_i^2+x_{i+1}^2\}=x_p^2+x_{p+1}^2[/texx]

Si [texx]x_p<x_{p+1}[/texx] reordena los números haciendo [texx] x'_j=x_{p-1+j}[/texx]

Si [texx]x_p>x_{p+1}[/texx] reordena los números haciendo [texx] x'_j=x_{p+2-j}[/texx]

Bien, de acuerdo, simplemente cambiando el sentido de nuestro círculo de números.

Saludos.
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« Respuesta #7 : 19/06/2018, 05:13:24 am »

Hola

Como estamos suponiendo que el enunciado es falso, entonces [texx]\forall{}i\leq{}n\;x_1^2+x_2^2>2x_ix_{i+1}[/texx]. Pero como es cierto para todo impar [texx]k[/texx] menor que [texx]n[/texx] debe cumplirse que:

[texx]min(x_1^2+x_2^2,x_k^2+x_1^2)\leq{}2x_kx_1[/texx]

Ahora no veo claro esto. En principio sólo veo que se podría asegurar que:

[texx]min(x_1^2+x_2^2,x_k^2+x_1^2)\leq{}2x_kx_1[/texx]

ó

[texx]min(x_1^2+x_2^2,x_k^2+x_1^2)=x_1^2+x_k^2\leq{}2x_ix_{i+1}[/texx] para algún [texx]i=1,2,\ldots,k-1[/texx]

¿Cómo descartas que pueda darse lo qué está en rojo?.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 19/06/2018, 05:35:54 am »

Hola.
Se descartan las demás parejas porque sino los n reales positivos que hemos supuesto que no cumplían el enunciado sí que lo estarían cumpliendo.
Saludos
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« Respuesta #9 : 19/06/2018, 05:39:08 am »

Ahí va, sí sí... Te entiendo. Creo que tienes razón. Tendré que revisarlo...
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« Respuesta #10 : 04/07/2018, 12:03:27 pm »

Hola, buenas.

Con este problema ya me rindo... Voy a subir los avances que creo que he hecho por si sirven de algo y a ver si así alguien consigue concluir:

La idea con la que creo haber avanzado más es la de empezar considerando que el teorema es falso para un conjunto de números y, a partir de eso, llegar a una contradicción. Sean [texx]x_1,...,x_n[/texx] tales números. Como ya se ha dicho antes, se puede considerar sin pérdida de generalidad:

[texx]x_1<x_2\leq{x_n}[/texx]

Y también:

[texx]min\left(\left\{x_i^2+x_{i+1}^2:1\leq{i\leq{n}}\right\}\right)=x_1^2+x_2^2[/texx]

Entonces, [texx]\forall{k}\;1\leq{k\leq{n}}[/texx]

[texx]x_1^2+x_2^2\leq{}x_k^2+x_{k-1}^2\,\Rightarrow{}\,x_k\geq{}\sqrt[ ]{x_1^2+x_2^2-x_{k-1}^2}[/texx]
[texx]x_1^2+x_2^2>2x_kx_{k-1}\,\Rightarrow{}\,x_k<\displaystyle\frac{x_1^2+x_2^2}{2x_{k-1}}[/texx]

Combinando ambos resultados es fácil llegar a que:

[texx]\sqrt[ ]{x_1^2+x_2^2-\left(\displaystyle\frac{x_1^2+x_2^2}{2x_{k-2}}\right)^2}<x_k<\displaystyle\frac{x_1^2+x_2^2}{2\sqrt[ ]{x_1^2+x_2^2-x_{k-2}^2}}[/texx]

Lo que llevo un tiempo intentando demostrar es que, para los números de lugar impar, el límite superior de la expresión anterior es siempre menor que [texx]x_2[/texx]. Si se demostrase eso, se tendría la contradicción [texx]x_n<x_2[/texx] y ya estaría arreglado, pero yo no soy capaz... La afirmación es sencilla de demostrar para n=3, n=5, pero ya me resulta complicado para n=7, y no creo que estos casos particulares tengan interés...

La intuición me dice (bueno, la intuición y el haber metido varios ejemplos en hojas de cálculo) que la sucesión que se obtiene con el límite superior para números de lugar impar es siempre menor que la que se obtiene con el límite inferior para números de lugar par. También que la primera es monótona creciente y la segunda monótona decreciente, por lo que tiene toda la pinta que la afirmación en negrita es cierta y que ambas sucesiones tienen límite:

[texx]\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{x_1^2+x_2^2}{2}}[/texx]

Pero como ya digo soy incapaz de finalizar...

Saludos.
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« Respuesta #11 : 04/07/2018, 12:57:32 pm »

Hola, buenas.

Con este problema ya me rindo... Voy a subir los avances que creo que he hecho por si sirven de algo y a ver si así alguien consigue concluir:

La idea con la que creo haber avanzado más es la de empezar considerando que el teorema es falso para un conjunto de números y, a partir de eso, llegar a una contradicción. Sean [texx]x_1,...,x_n[/texx] tales números. Como ya se ha dicho antes, se puede considerar sin pérdida de generalidad:

[texx]x_1<x_2\leq{x_n}[/texx]

....

No se si me perdí algo, pero todos los números podrían ser iguales.  Sería pues  [texx]x_1\leq x_2\leq{x_n}[/texx]

- Para [texx]n=1[/texx]  se cumple.

- Para [texx]n\geq 3[/texx] , siendo un conjunto ordenado, es equivalente

[texx] \min_{i=1,\ldots,n} (x_i^2+x_{i+1}^2) \leq \max_{j=1,\ldots,n} (2x_jx_{j+1})[/texx]    a    [texx]x_1^2+x_2^2 \leq 2 x_{n-1}x_n[/texx]


Pero  [texx]x_1^2+x_2^2\leq 2 x_2^2[/texx]    y    [texx]2 x_{n-1}^2 \leq 2 x_{n-1}x_n[/texx]

Y como [texx]x_2 \leq  x_{n-1}[/texx]

[texx]\therefore\quad x_1^2+x_2^2\leq 2 x_2^2 \leq 2 x_{n-1}^2 \leq 2 x_{n-1}x_n[/texx]    la desigualdad se cumple.
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« Respuesta #12 : 04/07/2018, 02:32:42 pm »

Hola Abdulai, gracias por tu respuesta. Lo que ocurre es que no la entiendo muy bien.

Por un lado me parece que has confundido el enunciado, lo de que [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx] no es una condición que deben cumplir los números según el enunciado, sino una condición podemos imponerles sin pérdida de generalidad. Esto quiere decir que para toda sucesión que cumpla el enunciado podemos a partir de ella generar otra que cumpla [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx]. Recuerdo ya que estoy que también he considerado sin pérdida de generalidad que [texx]min\{x_i^2+x_{i+1}^2\}=x_1^2+x_2^2[/texx].

Por otro lado no entiendo porqué consideras que el conjunto está ordenado. No digo que sea incorrecto, si se pudiese hacer es una consideración interesante, claro...

Y finalmente, tienes razón en que si todos los números son iguales se cumple la desigualdad del enunciado, pero no veo de qué manera sirve esto para demostrar el enunciado en general, que dice ser cierto para números reales positivos cualesquiera, no para algún conjunto de los mismos.

Saludos.
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« Respuesta #13 : 05/07/2018, 09:20:54 am »

...Por un lado me parece que has confundido el enunciado, lo de que [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx] no es una condición que deben cumplir los números según el enunciado, sino una condición podemos imponerles sin pérdida de generalidad.
Esto quiere decir que para toda sucesión que cumpla el enunciado podemos a partir de ella generar otra que cumpla [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx].

Puede ser, acostumbro confundirme en los enunciados :sonrisa:

Con la condición [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx]  perdés generalidad, quedan fuera los conjuntos de numeros iguales.
Aunque se puede comprobar que para números iguales se cumple y luego seguir con esa condición.

 Recuerdo ya que estoy que también he considerado sin pérdida de generalidad que [texx]min\{x_i^2+x_{i+1}^2\}=x_1^2+x_2^2[/texx].

Cita
Por otro lado no entiendo porqué consideras que el conjunto está ordenado. No digo que sea incorrecto, si se pudiese hacer es una consideración interesante, claro...

Eso era por economia en la notación, para no usar las funciones min/max.   Si a cualquier conjunto lo ordeno de manera creciente, [texx]min(x_i^2+x_j^2) = x_1^2+x_2^2[/texx]  y  [texx]max(x_i x_j) = x_{n-1}x_n [/texx]

Cita
Y finalmente, tienes razón en que si todos los números son iguales se cumple la desigualdad del enunciado, pero no veo de qué manera sirve esto para demostrar el enunciado en general, que dice ser cierto para números reales positivos cualesquiera, no para algún conjunto de los mismos.
Es que si lo demostrás para  [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx]  y te falta el para el caso  [texx]x_1=x_2=\cdots=x_n[/texx]


Saludos
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« Respuesta #14 : 05/07/2018, 03:03:33 pm »

Hola Abdulai.

Sí ahora te entiendo mejor, gracias.

Con la condición [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx]  perdés generalidad, quedan fuera los conjuntos de numeros iguales.
Aunque se puede comprobar que para números iguales se cumple y luego seguir con esa condición.

Lo que ocurre es que mi idea era la de considerar que existe una secuencia concreta de reales positivos que no cumple el enunciado para llegar a una contradicción, llamo a esos números [texx]x_1,...,x_n[/texx]. Descarto de entrada la opción de que todos ellos sean iguales porque esa secuencia sí que cumple, el enunciado.

Eso era por economia en la notación, para no usar las funciones min/max.   Si a cualquier conjunto lo ordeno de manera creciente, [texx]min(x_i^2+x_j^2) = x_1^2+x_2^2[/texx]  y  [texx]max(x_i x_j) = x_{n-1}x_n [/texx]

Lo que yo veo es que considerar que el conjunto está ordenado sí que pierde generalidad, bajo las condiciones que estoy considerando. ¿No te parece?

Saludos.
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« Respuesta #15 : 06/07/2018, 10:26:03 am »

No encontraba este mensaje porque estaba perdido entre el spam.

...
Con la condición [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx]  perdés generalidad, quedan fuera los conjuntos de numeros iguales.
Aunque se puede comprobar que para números iguales se cumple y luego seguir con esa condición.

Lo que ocurre es que mi idea era la de considerar que existe una secuencia concreta de reales positivos que no cumple el enunciado para llegar a una contradicción, llamo a esos números [texx]x_1,...,x_n[/texx]. Descarto de entrada la opción de que todos ellos sean iguales porque esa secuencia sí que cumple, el enunciado.

Finalmente te entendí  :sonrisa:

Cita
Eso era por economia en la notación, para no usar las funciones min/max.   Si a cualquier conjunto lo ordeno de manera creciente, [texx]min(x_i^2+x_j^2) = x_1^2+x_2^2[/texx]  y  [texx]max(x_i x_j) = x_{n-1}x_n [/texx]

Lo que yo veo es que considerar que el conjunto está ordenado sí que pierde generalidad, bajo las condiciones que estoy considerando. ¿No te parece?

Lo que me parece es que cada día veo peor.  La suma de cuadrados y el producto es entre elementos adyacentes y yo las consideraba entre cualquier par   :triste:

Lo mejor que podemos hacer es olvidar mis comentarios...

Saludos.
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