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alicenujan
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« : 13/06/2018, 10:50:15 am »

Sean: [texx]n[/texx] un entero positivo impar, y [texx]x_1,x_2,\cdots ,x_n[/texx] números reales no negativos.
Demostrar que \[ \min_{i=1,\ldots,n} (x_i^2+x_{i+1}^2) \leq \max_{j=1,\ldots,n} (2x_jx_{j+1}) \]donde [texx]x_{n+1}=x_1[/texx].

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martiniano
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« Respuesta #1 : Ayer a las 03:52:17 am »

No está bien. Disculpadme

Hola. Creo que lo tengo, aunque me despista que el enunciado me salga cierto para [texx]n\neq{}2[/texx].
Me
Consideremos primero, sin pérdida de generalidad, que [texx]min\left\{x_i^2+x_{i+1}^2|1\leq{}i\leq{}n\right\}=x_1^2+x_2^2[/texx] . Y también que [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx].

Veamos ahora que el enunciado es cierto para [texx]n=3[/texx]. Simplemente, si no fuese cierto y fuese:

[texx]x_1^2+x_2^2>2x_2x_3\geq{}2x_2^2\,\Rightarrow{}\,x_1>x_2[/texx], y esto contradice la suposición inicial.

Si [texx]n\geq{3}[/texx], y el enunciado fuese falso, entonces:

[texx]x_1^2+x_2^2>2x_2x_3\Rightarrow{}2x_3x_1\geq{}x_1^2+x_2^2>2x_2x_3\Rightarrow{}\,x_1>x_2[/texx] contradiciendo lo mismo que antes.

Como el enunciado es trivialmente cierto para [texx]n=1[/texx], entonces será cierto para todos los impares.

Saludos.
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martiniano
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« Respuesta #2 : Ayer a las 04:20:56 pm »

Hola buenas. Segundo intento, a ver si ahora sí  :sonrisa:.

El enunciado es trivialmente cierto para [texx]n=1[/texx], entonces si es falso en general habrá un [texx]n[/texx] impar mayor que 1 para el que será falso pero verdadero para todos los impares menores que [texx]n[/texx]. Sean [texx]x_1,x_2,...,x_n[/texx] reales positivos que no cumplen el enunciado. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que [texx]min\{x_i^2+x_{i+1}^2|1=i=n\}=x_1^2+x_2^2[/texx] y también que [texx]x_1<x_2\leq{}x_n[/texx].

Como estamos suponiendo que el enunciado es falso, entonces [texx]\forall{}i\leq{}n\;x_1^2+x_2^2>2x_ix_{i+1}[/texx]. Pero como es cierto para todo impar [texx]k[/texx] menor que [texx]n[/texx] debe cumplirse que:

[texx]min(x_1^2+x_2^2,x_k^2+x_1^2)\leq{}2x_kx_1[/texx]

Supongamos, ahora también, que para cierto [texx]k [/texx] impar menor que [texx]n-2[/texx] se cumple que (para 1 se cumple trivialmente):

[texx]x_k=x_1[/texx]
[texx]x_{k+1}\geq{}x_2[/texx]

Entonces si se cumplen estas dos condiciones también se cumplirán:

[texx]x_{k+3}\geq{}x_2[/texx]
[texx]x_{k+2}=x_1[/texx]

Véamoslo. Empecemos con lo de que:

[texx]min(x_1^2+x_2^2,x_{k+2}^2+x_1^2)\leq{}2x_{k+2}x_1[/texx]

Consideremos ahora dos casos:

A)   [texx]x_{k+2}\geq{}x_2\;\Rightarrow{\;}min(x_1^2+x_2^2,x_{k+2}^2+x_1^2)=x_1^2+x_2^2\;\Rightarrow{\;}2x_{k+2}x_1\geq{}x_1^2+x_2^2>2x_{k+2}x_{k+1}\;\Rightarrow{\;}x_1>x_{k+1}[/texx] .  Absurdo

B)   [texx]x_{k+2}<x_2\;\Rightarrow{\;}min(x_1^2+x_2^2,x_{k+2}^2+x_1^2)=x_{k+2}^2+x_1^2\;\Rightarrow{\;}2x_{k+2}x_1\geq{}x_{k+2}^2+x_1^2\;\Rightarrow{\;}x_{k+2}^2+x_1^2-2x_{k+2}x_1\leq{}0\;\Rightarrow{\;}x_{k+2}=x_1[/texx]

Y también:

[texx]x_1^2+x_2^2\leq{}x_{k+3}^2+x_{k+2}^2=x_{k+3}^2+x_{1}^2\;\Longrightarrow{\;}x_{k+3}\geq{}x_2[/texx]

Entonces por inducción se llega a que [texx]x_{n-1}\geq{}x_2[/texx] obteniendo, finalmente, la siguiente contradicción:

[texx]2x_{n-1}x_n\geq{}2x_2^2>x_1^2+x_2^2[/texx]

A ver qué os parece. Saludos.
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alicenujan
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« Respuesta #3 : Ayer a las 04:48:38 pm »

Gracias martiniano por tu ayudo, leo bién tu solución en estos dias y si tengo dudas las escribo. :sonrisa:
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