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Autor Tema: Isomorfismo entre cuerpos  (Leído 171 veces)
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Farifutbol
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« : 30/01/2019, 06:19:10 am »

Se consideran los cuerpos [texx]\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{7})= a+b\sqrt[ ]{7}[/texx] y [texx]\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{11})= a+b\sqrt[ ]{11}[/texx] con a y b [texx]\mathbb{Q}[/texx]. Demostrar que:
a)la función [texx]f:\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{7})\longrightarrow{}\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{11})[/texx] definida por [texx]f(a+b\sqrt[ ]{7})=a+b\sqrt[ ]{11}[/texx] no es un isomorfismo de cuerpos
b)No hay ningún isomorfismo entre [texx]\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{7})[/texx]y [texx]\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{11})[/texx]
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geómetracat
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« Respuesta #1 : 30/01/2019, 06:54:24 am »

Piensa en qué pasa con la imagen de [texx]\sqrt{7}[/texx] por un supuesto isomorfismo. Deberías tener [texx]f(\sqrt{7})^2 = 7[/texx] (¡compruébalo!). Ahora bien, ¿existe algún número en [texx]\mathbb{Q}(\sqrt{11})[/texx] cuyo cuadrado sea 7?
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 30/01/2019, 07:00:53 am »

Hola

Se consideran los cuerpos [texx]\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{7})= a+b\sqrt[ ]{7}[/texx] y [texx]\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{11})= a+b\sqrt[ ]{11}[/texx] con a y b [texx]\mathbb{Q}[/texx]. Demostrar que:
a)la función [texx]f:\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{7})\longrightarrow{}\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{11})[/texx] definida por [texx]f(a+b\sqrt[ ]{7})=a+b\sqrt[ ]{11}[/texx] no es un isomorfismo de cuerpos

Cualquier morfismo de cuerpos entre dos extensiones de [texx]\mathbb{Q}[/texx] es la identidad en sobre [texx]\mathbb{Q}[/texx].

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Ahora en el morfismo propuesto:

[texx]f(\sqrt{7})=\sqrt{11}[/texx]

Pero:

[texx]f(7)=f(\sqrt{7}\sqrt{7})=f(\sqrt{7})f(\sqrt{7})=\sqrt{11}\sqrt{11}=11 [/texx]

y por tanto [texx]f(7)\neq 7[/texx], lo cual contradice que [texx]f[/texx] sea la identidad en los racionales (de hecho en los enteros).

Cita
b)No hay ningún isomorfismo entre [texx]\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{7})[/texx]y [texx]\mathbb{Q}(\sqrt[ ]{11})[/texx]

Cualquier posible isomorfismo tiene que verificar:

[texx]7=f(7)=f(\sqrt{7}\sqrt{7})=f(\sqrt{7})f(\sqrt{7})=(f(\sqrt{7}))^2[/texx]

Es decir [texx]f(\sqrt{7})[/texx] ha de ser un elemento [texx]x[/texx] de [texx]\mathbb{Q}(\sqrt{11)}[/texx] tal que [texx]x^2=7[/texx]. Pero si [texx]x=a+b\sqrt{11}[/texx] con [texx]a,b\in \mathbb{Q}[/texx] tiene que cumplirse:

[texx](a+b\sqrt{11})^2=7[/texx]
[texx]a^2+11b^2+2ab\sqrt{11}=7[/texx]

Dado que [texx]\sqrt{11}[/texx] NO es racional o bien [texx]a=0[/texx] o bien [texx]b=0[/texx].

- Si [texx]a=0[/texx] queda, [texx]11b^2=7[/texx] de donde [texx]b=\pm \sqrt{7/11}[/texx] que NO es racional.

- Si [texx]b=0[/texx] queda, [texx]a^2=7[/texx] de donde [texx]a=\pm \sqrt{7}[/texx] que NO es racional.

Saludos.

P.D. Se adelantó geómetracat...
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