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Autor Tema: Subespacios compactos  (Leído 407 veces)
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lizzma
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El Salvador El Salvador

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« : 12/06/2018, 10:55:13 pm »

HOLA!  :sonrisa: necesito ayuda con este ejercicio

a) Demuestre que en la recta real con la topología de los complementos finitos, cualquier subespacio es compacto.
 La topologia de los complementos finitos se define asi: [texx]\tau_{c} =\{ u \subseteq{\mathbb{R}}/\mathbb{R}-u [/texx] es finito o todo [texx]\mathbb{R}\}[/texx]
b) Si [texx]\mathbb{R}[/texx] tiene la topologia formada por los conjuntos [texx]A[/texx] tales que bien [texx]\mathbb{R} -A [/texx] es numerable, o bien todo [texx]\mathbb{R}[/texx]. ¿Es [texx][0,1][/texx] un subespacio compacto?
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 13/06/2018, 04:00:43 am »

a) Demuestre que en la recta real con la topología de los complementos finitos, cualquier subespacio es compacto.
 La topologia de los complementos finitos se define asi: [texx]\tau_{c} =\{ u \subseteq{\mathbb{R}}/\mathbb{R}-u [/texx] es finito o todo [texx]\mathbb{R}\}[/texx]

Si [texx]K\subset \mathbb{R}[/texx] y [texx]\mathcal{A}=\{A_i:i\in I\}[/texx] es un recubrimiento abierto de [texx]K[/texx], toma cualquier [texx]A_{0}\in\mathcal{A}[/texx]. Entonces, [texx]K\backslash A_{0}[/texx] contiene solamente un número finito de elementos de [texx]K[/texx]: [texx]\left\{{k_1,\ldots,k_n}\right\}.[/texx] Para todo [texx]1\leq j\leq n[/texx], elige [texx]A_j\in\mathcal{A}[/texx] que contiene a [texx]k_j[/texx]. Entonces, [texx]\{A_0,A_1,\ldots,A_n\}[/texx] es subrecubrimiento finito de [texx]K[/texx]

b) Si [texx]\mathbb{R}[/texx] tiene la topologia formada por los conjuntos [texx]A[/texx] tales que bien [texx]\mathbb{R} -A [/texx] es numerable, o bien todo [texx]\mathbb{R}[/texx]. ¿Es [texx][0,1][/texx] un subespacio compacto?

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