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Autor Tema: Unión de bases genera espacio vectorial.  (Leído 411 veces)
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zimbawe
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« : 12/06/2018, 03:24:02 pm »

Hola, tengo el siguiente ejercicio y quiero saber si es correcta mi resolución.
Sean [texx]W_1[/texx] y [texx]W_2[/texx] subespacios de un espacio vectorial [texx]V[/texx] tales que [texx]V=W_1\oplus{W_2}[/texx] Si [texx]B_1[/texx] y [texx]B_2[/texx] son bases para [texx]W_1[/texx] y [texx]W_2[/texx] demostrar que: [texx]B_1\cap{B_2}=\emptyset[/texx] y que [texx]B_1\cup{B_2}[/texx] es una base para V.
Supongamos que [texx]x \in{B_1\cap{B_2}}[/texx] esto significa que [texx]x \in{W_1}[/texx] y [texx]x \in{W_2}[/texx] en particular [texx]x \in W_1\cap W_2[/texx] esto implica que: [texx]x=0[/texx] pero significa que las Bases no serían L.I, contradicción.
Para ver que [texx]B_1\cup{B_2}[/texx] es base, sabemos que: [texx]L(B_1)+L(B_2)=W_1+W_2=L(B_1\cup{B_2}[/texx]
¿Está bien mi demostración?
Gracias de antemano.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 13/06/2018, 06:42:29 am »

Hola

Hola, tengo el siguiente ejercicio y quiero saber si es correcta mi resolución.
Sean [texx]W_1[/texx] y [texx]W_2[/texx] subespacios de un espacio vectorial [texx]V[/texx] tales que [texx]V=W_1\oplus{W_2}[/texx] Si [texx]B_1[/texx] y [texx]B_2[/texx] son bases para [texx]W_1[/texx] y [texx]W_2[/texx] demostrar que: [texx]B_1\cap{B_2}=\emptyset[/texx] y que [texx]B_1\cup{B_2}[/texx] es una base para V.
Supongamos que [texx]x \in{B_1\cap{B_2}}[/texx] esto significa que [texx]x \in{W_1}[/texx] y [texx]x \in{W_2}[/texx] en particular [texx]x \in W_1\cap W_2[/texx] esto implica que: [texx]x=0[/texx] pero significa que las Bases no serían L.I, contradicción.
Para ver que [texx]B_1\cup{B_2}[/texx] es base, sabemos que: [texx]L(B_1)+L(B_2)=W_1+W_2=L(B_1\cup{B_2}[/texx]
¿Está bien mi demostración?

Todo bien. Pero te falta demostrar que  [texx]B_1\cup B_2[/texx] forman un conjunto linealmente independiente de vectores.

Saludos.
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zimbawe
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« Respuesta #2 : 13/06/2018, 10:01:53 pm »

Hola Luis, en el libro idean una manera de demostrarlo por eso no lo tuve en cuenta. Mil gracias.
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