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Autor Tema: Dado un conjunto cerrado entonces el conjunto de sus valores absoluto es cerrado  (Leído 123 veces)
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ghvddgr
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« : 11/06/2018, 08:39:56 pm »

Saludos,

Estoy enfrentando el siguiente problema,

Si [texx]A[/texx] es un conjunto cerrado de [texx]\mathbb{R}[/texx], demuestre que cada uno de los siguientes conjuntos también es cerrado
[texx]A=\{-x : x\in A \}[/texx]
[texx]B=\{|x| : x\in A \}[/texx]
[texx]C=\{x^2 : x\in A \}[/texx]

Ya he demostrado con facilidad el primero, para el segundo y tercero no he progresado mucho. Debo añadir que el ejercicio es del libro "A First Course in Real Analysis" por Sterling Berberian en la pagina 64, ej 5. y ofrecen una pista para [texx]B[/texx] y [texx]C[/texx], sugiriendo el uso del teorema de Bolzano-Weierstrass.

Básicamente quiero ver que para una sucesión completamente contenida en [texx]B[/texx], que sea convergente, digamos a [texx]p\in \mathbb{R}[/texx] vamos a obtener que [texx]p\in B[/texx].

Tomando [texx]y_n\in B[/texx] una sucesión convergente a [texx]p\in \mathbb{R}[/texx], tenemos por definición que [texx]y_n=|x_n|[/texx], para [texx]x_n\in A[/texx], luego expandiendo la definición de valor absoluto

[texx]y_n=|x_n|=
    \begin{cases}
      x_n, & \text{if } x_n\geq 0 \\
      -x_n, & \text{if } x_n<0
    \end{cases}[/texx]

La cuestión es que de aquí creo que debería tomar una subsucesión [texx]y_{n_{k}}=x_{n_{k}}[/texx] positiva, que sabemos va a ser convergente pues la mas grande lo es, mas aun, [texx]x_{n_{k}}[/texx] converge a [texx]p\in A[/texx] pues [texx]A[/texx] es cerrado, luego [texx]p\in B[/texx]. Pero no logro convencerme aun de esta idea.

Cualquier opinión es bienvenida. Gracias!
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« Respuesta #1 : 11/06/2018, 09:22:12 pm »

Si [texx]\lim y_n=L[/texx] entonces [texx]L[/texx] o [texx]-L[/texx] son puntos límite de [texx]x_n[/texx], lo que quiere decir que existe una subsucesión [texx]x_{n_k}[/texx] que converge a [texx]L[/texx] ó a [texx]-L[/texx].

Fíjate que no tiene por qué existir una subsucesión de elementos positivos, lo que sí es cierto es que o bien existe una subsucesión de elementos no-negativos o bien de elementos no-positivos (o quizá ambas).

Lo que tienes que demostrar es que tal subsucesión existe utilizando el teorema mencionado, o eso parece que pretende sugerir la pista dejada.
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« Respuesta #2 : 12/06/2018, 12:31:10 am »

Cuando dices punto limite, te refieres a la convergencia de la sucesión?
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« Respuesta #3 : 12/06/2018, 03:19:30 am »

Cuando dices punto limite, te refieres a la convergencia de la sucesión?

Un punto límite [texx]L[/texx] de una sucesión es un punto tal que para todo [texx]\epsilon>0[/texx] y para todo [texx]N\in\Bbb N[/texx] existe un [texx]m\in\Bbb N[/texx] tal que [texx]|x_m-L|<\epsilon[/texx] y [texx]m\ge N[/texx]. Una sucesión de números reales es convergente (en [texx]\Bbb R[/texx]) si y solo si tiene un único punto límite y está acotada.

Un ejemplo: la sucesión definida por [texx]x_n:=(-1)^n[/texx] tiene dos puntos límites: el [texx]1[/texx] y el [texx]-1[/texx], por tanto no es convergente. La sucesión definida en [texx]\Bbb R[/texx] por [texx]x_n:=n[/texx] no tiene puntos límites reales, ya que [texx]\lim x_n=\infty[/texx] y [texx]\infty\notin\Bbb R[/texx], por tanto no es convergente en [texx]\Bbb R[/texx].

También se puede decir lo de antes de otra manera: [texx]L[/texx] es un punto límite de la sucesión [texx](x_n)[/texx] si existe una subsucesión [texx](x_{n_k})[/texx] que converge a [texx]L[/texx].



Más simple que todo eso: si [texx]\lim |x_n|= L<\infty[/texx] entonces la sucesión [texx](|x_n|)[/texx] está acotada, y por tanto también lo está la sucesión [texx](x_n)[/texx]. Ahora ya sólo tienes que aplicar el teorema de Bolzano-Weierstrass.

CORREGIDO.
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ghvddgr
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« Respuesta #4 : 13/06/2018, 10:18:48 pm »

Muchas gracias por la aclaratoria  Aplauso Aplauso Aplauso.

Me tomo algo de tiempo comprender completamente tu respuesta  :BangHead:. Sin embargo, al final el ejercicio cedió, usando los argumentos que indicaste mas el uso del teorema de Bolzano-Weierstrass (Garantizar la existencia de las sub-sucesiones)
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