20/10/2018, 01:57:16 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: UTF 4 sin descenso (V)  (Leído 1129 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Fernando Moreno
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 72


Ver Perfil
« : 11/06/2018, 06:17:37 pm »

Hola,

Supongo que  [texx]z^4=x^4+y^4[/texx]  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2;  [texx]x\,\vee\,y[/texx]  par.

Estrategia: Demostrar con carácter general que no es posible que se dé a la vez:

[texx]a\cdot b=c\cdot d[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx]

Para:  [texx]a,b[/texx]  coprimos -y-  [texx]c,d[/texx]  coprimos.

Supongamos que ocurre. Entonces podemos establecer la siguiente relación de orden entre las magnitudes de estas 4 variables:  [texx]b\,<\,d\,<\,c\,<\,a[/texx] .  Porque dado  [texx]ab=cd[/texx] ;  entonces  [texx]b[/texx]  debe ser menor que  [texx]d\,\wedge\,c[/texx]  puesto que  [texx]a[/texx]  es mayor que estas dos variables y voy a suponer, sin perder generalidad, que  [texx]c[/texx]  es mayor que  [texx]d[/texx] .

Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  [texx]ab=cd[/texx] ,  deben estar a la derecha; solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]c=c_1c_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]d=d_1d_2[/texx] ,  para  [texx]c_1\,\wedge\,c_2[/texx]  coprimos y  [texx]d_1\,\wedge\,d_2[/texx]  coprimos (uno de ellos par o no); pudiendo por tanto establecer que:  [texx]a=c_1d_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b=c_2d_1[/texx] .  Veámoslo:






Hablamos ahora de 4 variables tomadas de 2 en 2. Podemos suponer que 2 de ellas son iguales, pero no más de 2, pues si no  [texx]a\,\vee\,b\,\vee\,c\,\vee\,d[/texx]  serían iguales y partimos de que no lo son. No pierdo generalidad tampoco, por lo tanto, si establezco la siguiente relación de orden entre ellas como sigue:  [texx]d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1[/texx] .  Entonces; como  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] :

[texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

[texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  [texx]c_2^2+d_2^2[/texx]  y :

[texx]d_2^2=d_1^2\,k\,c_1^2+c_2^2[/texx] .  Pero esto no es posible porque  [texx]d_2^2\,<c_1^2[/texx] .

Supongamos entonces para salvar este escollo, que en vez de la relación de orden antes expuesta sea esta otra:   [texx]d_1\,\leq\,c_2\,<\,c_1\,<\,d_2[/texx] .

Si:  [texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Entonces:

[texx]c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2[/texx] .  Como  [texx]d_2^2[/texx]  es coprimo con [texx]c_2^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  [texx]d_1^2+c_1^2[/texx]  y :

[texx]c_1^2=c_2^2\,k'\,d_2^2+d_1^2[/texx] .  Pero esto tampoco es posible porque hemos establecido que:  [texx]c_1\,<\,d_2[/texx] .


Ahora veamos que ocurriría si el UTF 4 fuera falso y se cumpliera la igualdad de la suma de sus cuartas potencias:

Como:  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx] ;  serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]x^2=2pq[/texx]  ,  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx]  ,  [texx]z^2=p^2+q^2[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Por lo que así mismo, serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]z=a'^2+b'^2[/texx]  ,  [texx]p=a'^2-b'^2[/texx]  ,  [texx]q=2a'b'[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]p=c'^2+d'^2[/texx]  ,  [texx]y=c'^2-d'^2[/texx]  ,  [texx]q=2c'd'[/texx] ;  para  [texx]a',b'[/texx]  coprimos  [texx]\wedge[/texx]  [texx]c',d'[/texx]  coprimos, uno de cada pareja par.         

Y :  [texx]a'b'=c'd'[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a'^2-b'^2=c'^2+d'^2[/texx] .  Ahí lo tenemos


Un saludo,

* unicidad1.jpg (15.03 KB - descargado 612 veces.)
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.574


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 11/06/2018, 06:55:03 pm »

Hola

 Este paso no lo veo.

[texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

[texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  [texx]c_2^2+d_2^2[/texx]  y :

[texx]d_2^2=d_1^2\,k\,\color{red}c_1^2\color{black}+c_2^2[/texx] .  Pero esto no es posible porque  [texx]d_2^2\,<c_1^2[/texx] .


¿Por qué pones ese factor [texx]c_1^2[/texx]?. Si [texx]c_1^2[/texx] divide a  [texx]c_2^2+d_2^2[/texx]  entonces:

[texx]\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}=d_1^2k[/texx]

Saludos.
En línea
Fernando Moreno
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 72


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 11/06/2018, 07:04:29 pm »

Hola,

Este paso no lo veo.

[texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

[texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  [texx]c_2^2+d_2^2[/texx]  y :

[texx]d_2^2=d_1^2\,k\,\color{red}c_1^2\color{black}+c_2^2[/texx] .  Pero esto no es posible porque  [texx]d_2^2\,<c_1^2[/texx] .


¿Por qué pones ese factor [texx]c_1^2[/texx]?. Si [texx]c_1^2[/texx] divide a  [texx]c_2^2+d_2^2[/texx]  entonces:

[texx]\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}=d_1^2k[/texx]

Pues no sé por qué lo he puesto. Me pareció ver una debilidad en esta parte y me lancé en tromba, como siempre. Mañana lo repaso por si tuviera alguna solución. Un saludo y gracias por la indicación
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Fernando Moreno
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 72


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 21/08/2018, 02:58:27 pm »

Hola,

Supongo que  [texx]z^4=x^4+y^4[/texx]  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2;  [texx]x\,\vee\,y[/texx]  par.

Estrategia: Demostrar con carácter general que no es posible que se dé a la vez:

[texx]\pmb{a\cdot b=c\cdot d}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\pmb{a^2=b^2+c^2+d^2}[/texx]

Para:  [texx]a,b[/texx]  coprimos -y-  [texx]c,d[/texx]  coprimos; uno de cada pareja par.

Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  [texx]ab=cd[/texx] ,  deben estar a la derecha, solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma si establezco que:  [texx]c=c_1c_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]d=d_1d_2[/texx] ,  para  [texx]c_1\,\wedge\,c_2[/texx]  coprimos y  [texx]d_1\,\wedge\,d_2[/texx]  coprimos (uno de ellos par: por ejemplo:  [texx]d_1[/texx] ) ;  puedo establecer también sin perder generalidad que:  [texx]a=c_1d_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b=c_2d_1[/texx] .  Veámoslo:






Tratamos con 4 variables tomadas de 2 en 2. Podemos suponer que 2 de ellas son iguales, pero no más de 2, pues si no  [texx]a\,\vee\,b\,\vee\,c\,\vee\,d[/texx]  serían iguales y partimos de que no lo son. No pierdo generalidad tampoco, por lo tanto, si establezco la siguiente relación de orden entre ellas como sigue:  [texx]d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1[/texx] .

Como:  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] ;  entonces:  [texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

(1)  [texx]c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2[/texx] .  Como  [texx]d_2^2[/texx]  es coprimo con [texx]c_2^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]d_1^2+c_1^2[/texx] " .  Así:  [texx]c_1^2=k_1\,c_2^2+d_1^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_1[/texx] “  entero ó racional.

(2)  [texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  " [texx]c_2^2+d_2^2[/texx] " .  Así:  [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] ,  para un  “ [texx]k_2[/texx] “  entero ó racional.
 
Y observamos lo siguiente:

(1)  [texx]\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}\,=\,\dfrac{d_1^2}{d_2^2}+\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]r^2=\dfrac{d_1^2}{d_2^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]s^2=\dfrac{c_1^2}{d_2^2}[/texx] .  Como:  [texx]d_1\,<\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]r^2\,<\,0[/texx] .  Y como:  [texx]c_1\,>\,d_2[/texx] ,  entonces:  [texx]s^2\,>\,0[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]r^2+s^2=k_1[/texx] .

(2)  [texx]\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Si llamamos ahora:  [texx]t^2=\dfrac{c_2^2}{c_1^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\dfrac{1}{s^2}=\dfrac{d_2^2}{c_1^2}[/texx] .  Como:  [texx]c_2\,<\,c_1[/texx] ,  entonces:  [texx]t^2\,<\,0[/texx] .  Y como dijimos antes que:  [texx]s_2\,>\,0[/texx] ,  entonces:  [texx]\dfrac{1}{s^2}\,<\,0[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]t^2+\dfrac{1}{s^2}=k_2[/texx] .

Analicemos esto último:

Como  [texx]t^2\,\wedge\,\dfrac{1}{s^2}[/texx]  son menores que  [texx]0[/texx] ,  por fuerza  [texx]k_2\,<\,2[/texx] .  Por otra parte como si  [texx]k_2[/texx]  fuera entero sería "par":  [texx]\left({k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,par)}{(=\,impar)}}\right)[/texx]  y no puede serlo de ninguna manera; entonces concluimos que será un racional no entero de la forma:  " [texx]\dfrac{A}{B}[/texx] " .  Y que ése “ B ” debe dividir á  “ [texx]d_1^2[/texx] “  de:   [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] .

Por otra parte, como:  [texx]a^2-c^2=b^2+d^2[/texx] ;  entonces:

[texx]c_1^2d_2^2-c_1^2c_2^2=c_2^2d_1^2+d_1^2d_2^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c_1^2(d_2^2-c_2^2)=d_1^2(c_2^2+d_2^2)[/texx] .  De donde:  [texx]\dfrac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,=\,k_2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]k_2\,d_1^2=d_2^2-c_2^2[/texx]   (que ya conocíamos (2))   [texx]\wedge[/texx]   (ahora:)   [texx]k_2\,c_1^2=c_2^2+d_2^2[/texx] .  Pero esto no puede ser, porque si el denominador de  " [texx]k_2[/texx] "  ( B )  divide á  [texx]d_1^2[/texx] ,  no puede dividir a su coprimo:  “ [texx]c_1^2[/texx] “ .  Por lo tanto uno de los dos:  “ [texx]k_2\,d_1^2[/texx] “   [texx]\vee[/texx]   “ [texx]k_2\,c_1^2[/texx] “  no es entero.


Ahora veamos que ocurriría si el UTF 4 fuera falso y se cumpliera la igualdad de la suma de sus dos cuartas potencias:

Como:  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx] ;  serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]x^2=2pq[/texx]  ,  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx]  ,  [texx]z^2=p^2+q^2[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Por lo que así mismo, serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]z=a'^2+b'^2[/texx]  ,  [texx]p=a'^2-b'^2[/texx]  ,  [texx]q=2a'b'[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]p=c'^2+d'^2[/texx]  ,  [texx]y=c'^2-d'^2[/texx]  ,  [texx]q=2c'd'[/texx] ;  para  [texx]a',b'[/texx]  coprimos  [texx]\wedge[/texx]  [texx]c',d'[/texx]  coprimos, uno de cada pareja par.         

Y :  [texx]\pmb{a'b'=c'd'}[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]\pmb{a'^2-b'^2=c'^2+d'^2}[/texx] .  Ahí lo tenemos.


Un saludo, 
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Fernando Moreno
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 72


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 24/08/2018, 05:47:16 pm »

Hola,


Analicemos esto último:

Como  [texx]t^2\,\wedge\,\dfrac{1}{s^2}[/texx]  son menores que  [texx]0[/texx] ,  por fuerza  [texx]k_2\,<\,2[/texx] .  Por otra parte como si  [texx]k_2[/texx]  fuera entero sería "par":  [texx]\left({k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}\,\,\dfrac{(=\,par)}{(=\,impar)}}\right)[/texx]  y no puede serlo de ninguna manera; entonces concluimos que será un racional no entero de la forma:  " [texx]\dfrac{A}{B}[/texx] " .  Y que ése “ B ” debe dividir á  “ [texx]d_1^2[/texx] “  de:   [texx]d_2^2=k_2\,d_1^2+c_2^2[/texx] .


Otra manera de analizar esto es generalizándolo dentro de lo que sería una determinada situación supersimétrica que en aritmética no puede darse:

- A parir de  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] ,  teníamos que:  [texx]\color{brown}k_1=\dfrac{d_1^2+c_1^2}{d_2^2}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]\color{brown}k_2=\dfrac{c_2^2+d_2^2}{c_1^2}[/texx] .

- A partir de:  [texx]a^2-d^2=b^2+c^2[/texx] .  Si desarrollamos:  [texx]c_1^2d_2^2-d_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]d_2^2(c_1^2-d_1^2)=c_2^2(d_1^2+c_1^2)[/texx] .  Tendremos:  [texx]\color{brown}k_3=\displaystyle\frac{c_1^2-d_1^2}{c_2^2}[/texx] .

- Y a partir de:  [texx]a^2-c^2=b^2+d^2[/texx] .  Si desarrollamos:  [texx]c_1^2d_2^2-c_1^2c_2^2=c_2^2d_1^2+d_1^2d_2^2[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]c_1^2(d_2^2-c_2^2)=d_1^2(c_2^2+d_2^2)[/texx] .  Tendremos:  [texx]\color{brown}k_4=\displaystyle\frac{d_2^2-c_2^2}{d_1^2}[/texx] .

Ahora hago los siguientes nombramientos sin tener en cuenta la condición de "cuadrados" de las variables:

[texx]c_1^2=\pmb{a}[/texx]  ,  [texx]d_1^2=\pmb{b}[/texx]  (par)  ,  [texx]c_2^2=\pmb{c}[/texx]  ,  [texx]d_2^2=\pmb{d}[/texx]

Tendremos que:

Dados  [texx]a,b,c,d[/texx]  enteros distintos, coprimos 2 á 2, uno de ellos par y  [texx]k_1,k_2,k_3,k_4[/texx]  enteros; entonces:

[texx]a+b=k_1d[/texx]

[texx]a-b=k_3c[/texx]

[texx]c+d=k_2a[/texx]

[texx]c-d=k_4b[/texx]

Y esta situación "supersimétrica" no puede darse con carácter general.

Como son enteros distintos tendrán un orden. Al ser 4, sus permutaciones entre sí darán lugar a 24 combinaciones diferentes:

(1)  [texx]a\,>\,b\,>\,c\,>\,d[/texx]

(2)  [texx]b\,>\,a\,>\,c\,>\,d[/texx]

(3)  [texx]c\,>\,b\,>\,a\,>\,d[/texx]

(4)  [texx]d\,>\,c\,>\,b\,>\,a[/texx]

. . . . . . . Etc.

Y si no me he equivocado en todos los casos hay un  " [texx]k_i[/texx] "  que resulta ser un racional no entero. Los casos más características son éstos:

Tipo (1):  Como  " [texx]a[/texx] "  es mayor que  [texx]c\,\wedge\,d[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]c+d=k_2a[/texx] ;  entonces:  [texx]k_2=\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{a}[/texx] .  Y  " [texx]k_2[/texx] "  debe ser en consecuencia menor que 2. Pero como si fuera entero debería ser "par" por ser  " [texx]c+d[/texx] " par. Entonces no queda otra que no sea entero.

Tipo (2):  Como  " [texx]b[/texx] "  es mayor que  [texx]c\,\wedge\,d[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]c-d=k_4b[/texx] ;  entonces:  [texx]k_4=\dfrac{c}{b}-\dfrac{d}{b}[/texx] .  Y  " [texx]k_4[/texx] "  debe ser en consecuencia menor que 1. 

Tipo (3):  Como  " [texx]c[/texx] "  es mayor que  [texx]a\,\wedge\,b[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]a-b=k_3c[/texx] ;  entonces:  [texx]k_3=\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}[/texx] .  Y  " [texx]k_3[/texx] "  debe ser en consecuencia menor que 1 (negativo).

Tipo (4):  Como  " [texx]d[/texx] "  es mayor que  [texx]a\,\wedge\,b[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]a+b=k_1d[/texx]   ;  entonces:  [texx]k_1=\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}[/texx] .  Y  " [texx]k_1[/texx] "  debe ser igual á 1 si es entero porque debe ser menor que 2 y puede serlo. Pero entonces, como también:  [texx]c-d=k_4b[/texx]   [texx]\Rightarrow{}[/texx]   [texx]d=c-k_4b[/texx]  -y-  " [texx]k_4[/texx] "  es negativo porque  [texx]c\,<\,d[/texx] ;  entonces si  [texx]k_4[/texx]  es mayor que 1, tendríamos que  [texx]d=a+b=c+k_4'b[/texx] .  Lo que no puede ocurrir por ser  [texx]c[/texx]  mayor que  " [texx]a[/texx] " .  Luego por fuerza  " [texx]k_4[/texx] "  debe ser menor que 1.

El caso más complejo que me he encontrado (a mi entender) es éste:  " [texx]\pmb{d\,>\,a\,>\,c\,>\,b}[/texx] "   ó   " [texx]\pmb{d\,>\,a\,>\,b\,>\,c}[/texx] "

Al ser del tipo (4) siempre tendremos que:  [texx]d=a+b[/texx] .  Por otra parte tenemos que:  [texx]a-b=k_3c[/texx] .  Luego:  [texx](a+b)+(a-b)=d+k_3c[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]2a=d+k_3c[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]k_3=\dfrac{2a-d}{c}[/texx] .  Pero si  “ [texx]k_3[/texx] “  fuera entero sería ahora impar  [texx]\left({\dfrac{impar}{impar}}\right)[/texx] ,  cuando antes era “par”:  [texx]k_3=\dfrac{a-b}{c}[/texx] .  Luego debe ser también un racional no entero.


Un saludo,
En línea

  Cuando alcanzamos lo otro, atravesamos a Dios.  F. Moreno 
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!