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Autor Tema: UTF 4 sin descenso (V)  (Leído 420 veces)
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Fernando Moreno
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« : 11/06/2018, 06:17:37 pm »

Hola,

Supongo que  [texx]z^4=x^4+y^4[/texx]  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2;  [texx]x\,\vee\,y[/texx]  par.

Estrategia: Demostrar con carácter general que no es posible que se dé a la vez:

[texx]a\cdot b=c\cdot d[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx]

Para:  [texx]a,b[/texx]  coprimos -y-  [texx]c,d[/texx]  coprimos.

Supongamos que ocurre. Entonces podemos establecer la siguiente relación de orden entre las magnitudes de estas 4 variables:  [texx]b\,<\,d\,<\,c\,<\,a[/texx] .  Porque dado  [texx]ab=cd[/texx] ;  entonces  [texx]b[/texx]  debe ser menor que  [texx]d\,\wedge\,c[/texx]  puesto que  [texx]a[/texx]  es mayor que estas dos variables y voy a suponer, sin perder generalidad, que  [texx]c[/texx]  es mayor que  [texx]d[/texx] .

Por el principio de factorización única sé que los mismos factores primos que están a la izquierda de la igualdad  [texx]ab=cd[/texx] ,  deben estar a la derecha; solamente que agrupados de distinta manera. De esta forma no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]c=c_1c_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]d=d_1d_2[/texx] ,  para  [texx]c_1\,\wedge\,c_2[/texx]  coprimos y  [texx]d_1\,\wedge\,d_2[/texx]  coprimos (uno de ellos par o no); pudiendo por tanto establecer que:  [texx]a=c_1d_2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]b=c_2d_1[/texx] .  Veámoslo:






Hablamos ahora de 4 variables tomadas de 2 en 2. Podemos suponer que 2 de ellas son iguales, pero no más de 2, pues si no  [texx]a\,\vee\,b\,\vee\,c\,\vee\,d[/texx]  serían iguales y partimos de que no lo son. No pierdo generalidad tampoco, por lo tanto, si establezco la siguiente relación de orden entre ellas como sigue:  [texx]d_1\,\leq\,c_2\,<\,d_2\,<\,c_1[/texx] .  Entonces; como  [texx]a^2=b^2+c^2+d^2[/texx] :

[texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

[texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  [texx]c_2^2+d_2^2[/texx]  y :

[texx]d_2^2=d_1^2\,k\,c_1^2+c_2^2[/texx] .  Pero esto no es posible porque  [texx]d_2^2\,<c_1^2[/texx] .

Supongamos entonces para salvar este escollo, que en vez de la relación de orden antes expuesta sea esta otra:   [texx]d_1\,\leq\,c_2\,<\,c_1\,<\,d_2[/texx] .

Si:  [texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Entonces:

[texx]c_1^2=\dfrac{c_2^2(d_1^2+c_1^2)}{d_2^2}+d_1^2[/texx] .  Como  [texx]d_2^2[/texx]  es coprimo con [texx]c_2^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  [texx]d_1^2+c_1^2[/texx]  y :

[texx]c_1^2=c_2^2\,k'\,d_2^2+d_1^2[/texx] .  Pero esto tampoco es posible porque hemos establecido que:  [texx]c_1\,<\,d_2[/texx] .


Ahora veamos que ocurriría si el UTF 4 fuera falso y se cumpliera la igualdad de la suma de sus cuartas potencias:

Como:  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx] ;  serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]x^2=2pq[/texx]  ,  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx]  ,  [texx]z^2=p^2+q^2[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Por lo que así mismo, serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]z=a'^2+b'^2[/texx]  ,  [texx]p=a'^2-b'^2[/texx]  ,  [texx]q=2a'b'[/texx]    [texx]\wedge[/texx]    [texx]p=c'^2+d'^2[/texx]  ,  [texx]y=c'^2-d'^2[/texx]  ,  [texx]q=2c'd'[/texx] ;  para  [texx]a',b'[/texx]  coprimos  [texx]\wedge[/texx]  [texx]c',d'[/texx]  coprimos, uno de cada pareja par.         

Y :  [texx]a'b'=c'd'[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a'^2-b'^2=c'^2+d'^2[/texx] .  Ahí lo tenemos


Un saludo,

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« Respuesta #1 : 11/06/2018, 06:55:03 pm »

Hola

 Este paso no lo veo.

[texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

[texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  [texx]c_2^2+d_2^2[/texx]  y :

[texx]d_2^2=d_1^2\,k\,\color{red}c_1^2\color{black}+c_2^2[/texx] .  Pero esto no es posible porque  [texx]d_2^2\,<c_1^2[/texx] .


¿Por qué pones ese factor [texx]c_1^2[/texx]?. Si [texx]c_1^2[/texx] divide a  [texx]c_2^2+d_2^2[/texx]  entonces:

[texx]\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}=d_1^2k[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 11/06/2018, 07:04:29 pm »

Hola,

Este paso no lo veo.

[texx]c_1^2d_2^2=c_2^2d_1^2+c_1^2c_2^2+d_1^2d_2^2[/texx] .  Luego:

[texx]d_2^2=\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}+c_2^2[/texx] .  Como  [texx]c_1^2[/texx]  es coprimo con [texx]d_1^2[/texx] ,  entonces debe dividir á  [texx]c_2^2+d_2^2[/texx]  y :

[texx]d_2^2=d_1^2\,k\,\color{red}c_1^2\color{black}+c_2^2[/texx] .  Pero esto no es posible porque  [texx]d_2^2\,<c_1^2[/texx] .


¿Por qué pones ese factor [texx]c_1^2[/texx]?. Si [texx]c_1^2[/texx] divide a  [texx]c_2^2+d_2^2[/texx]  entonces:

[texx]\dfrac{d_1^2(c_2^2+d_2^2)}{c_1^2}=d_1^2k[/texx]

Pues no sé por qué lo he puesto. Me pareció ver una debilidad en esta parte y me lancé en tromba, como siempre. Mañana lo repaso por si tuviera alguna solución. Un saludo y gracias por la indicación
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