17/06/2019, 10:23:18 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Transformación lineal autoadjunta  (Leído 454 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Valentinuh
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 77


Ver Perfil
« : 02/06/2018, 07:43:32 pm »

Hola! Estoy teniendo problemas para hallar la matriz asociada a la base canónica de esta transformación, para luego ver si es autoadjunta:

Se considera [texx]\mathbb{R}^3[/texx] con el producto interno usual. Sea [texx]T:\mathbb{R}^3\rightarrow{}\mathbb{R}^3[/texx] una transformación lineal tal que:
[texx]T(2,0,1)=(0,2,1)[/texx]
[texx]T(0,-2,-1)=(-2,0,-1)[/texx]
[texx]T(1,2,0)=(1,0,2)[/texx]
¿Es T autoadjunta?

Traté de hallar la matriz asociada calculando las coordenadas de los vectores en la base canónica, a lo que me da [texx]coord_B(T(2,0,1))=0(1,0,0)+2(0,1,0)+1(0,0,1)=(0,2,1)[/texx] y así sucesivamente, a lo que llego a
[texx]_B(T)_B=\begin{bmatrix}{0}&{-2}&{1}\\{2}&{0}&{0}\\{1}&{-1}&{2}\end{bmatrix}[/texx]
Lo cual no coincide con las soluciones que me han dado... ¿En qué estoy fallando?
Les agradezco muchísimo su ayuda :-)
Saludos.
En línea
delmar
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 1.694


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 02/06/2018, 11:00:01 pm »

Hola

La idea que tienes es correcta; pero hay que precisarla más, has considerado que la base para el [texx]R^3[/texx] de llegada (que incluye a la imágen de T ) es la canónica [texx]B=\left\{{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\right\}[/texx] eso es correcto. Pero has considerado que la base del [texx]R^3[/texx] de salida (dominio de T) es [texx]B'=\left\{{(2,0,1),(0,-2,-1),(1,2,0)}\right\}[/texx], es verdad que este conjunto es linealmente independiente, es una base; pero no es la canónica, ni siquiera es ortonormal. Tienes que hallar la representación matricial M(T) respecto a las bases : B y B. La primera para el dominio de T, es decir [texx]R^3[/texx] y la segunda para el espacio vectorial, que incluye a la imágen de T, es decir  [texx]R^3[/texx]. En otras palabras las columnas de la matriz serán las componentes respecto a B de los elementos de B.Entonces hay que hallar las componentes respecto a B, de [texx]T(e_1),T(e_2),T(e_3)[/texx] ¿cómo hallarlas? De los datos que se tienen :

[texx]T(2,0,1)=(0,2,1)\Rightarrow{2T(e_1)+T(e_3)=2e_2+e_3}[/texx] Ec. 1

[texx]T(0,-2,-1)=(-2,0,-1)\Rightarrow{-2T(e_2)-T(e_3)=-2e_1-e_3}[/texx] Ec. 2

[texx]T(1,2,0)=(1,0,2)\Rightarrow{T(e_1)+2T(e_2)=2e_1+2e_3}[/texx] Ec. 3

Las 3 ecuaciones constituyen un sistema, con variables  [texx]T(e_1),T(e_2),T(e_3)[/texx], se pueden poner en forma matricial y mediante el método gaussiano se encuentran sus valores, que van a ser sus componentes respecto a la base B, Ahora sí puedes armar la matriz y verificar que es autoadjunta y en consecuencia la transformación T es autoadjunta.


Saludos
En línea
Valentinuh
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 77


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 03/06/2018, 06:05:42 pm »

Hola

La idea que tienes es correcta; pero hay que precisarla más, has considerado que la base para el [texx]R^3[/texx] de llegada (que incluye a la imágen de T ) es la canónica [texx]B=\left\{{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\right\}[/texx] eso es correcto. Pero has considerado que la base del [texx]R^3[/texx] de salida (dominio de T) es [texx]B'=\left\{{(2,0,1),(0,-2,-1),(1,2,0)}\right\}[/texx], es verdad que este conjunto es linealmente independiente, es una base; pero no es la canónica, ni siquiera es ortonormal. Tienes que hallar la representación matricial M(T) respecto a las bases : B y B. La primera para el dominio de T, es decir [texx]R^3[/texx] y la segunda para el espacio vectorial, que incluye a la imágen de T, es decir  [texx]R^3[/texx]. En otras palabras las columnas de la matriz serán las componentes respecto a B de los elementos de B.Entonces hay que hallar las componentes respecto a B, de [texx]T(e_1),T(e_2),T(e_3)[/texx] ¿cómo hallarlas? De los datos que se tienen :

[texx]T(2,0,1)=(0,2,1)\Rightarrow{2T(e_1)+T(e_3)=2e_2+e_3}[/texx] Ec. 1

[texx]T(0,-2,-1)=(-2,0,-1)\Rightarrow{-2T(e_2)-T(e_3)=-2e_1-e_3}[/texx] Ec. 2

[texx]T(1,2,0)=(1,0,2)\Rightarrow{T(e_1)+2T(e_2)=2e_1+2e_3}[/texx] Ec. 3

Las 3 ecuaciones constituyen un sistema, con variables  [texx]T(e_1),T(e_2),T(e_3)[/texx], se pueden poner en forma matricial y mediante el método gaussiano se encuentran sus valores, que van a ser sus componentes respecto a la base B, Ahora sí puedes armar la matriz y verificar que es autoadjunta y en consecuencia la transformación T es autoadjunta.


Saludos
Genial!!! Muchísimas gracias por tu ayuda :-)
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!