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Autor Tema: Signo derivadas  (Leído 758 veces)
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« : 08/06/2018, 11:06:44 am »

Hola

Si [texx]f(x)>0, f'(x)<0[/texx] para todo [texx]x\geq{}0[/texx] y [texx]f''(x)[/texx] no cambia de signo entonces [texx]f''(x)>0[/texx] para todo [texx]x\geq{}0.[/texx]

Saludos

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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #1 : 08/06/2018, 11:46:40 am »

Si [texx]f''(x) < 0 [/texx] para todo [texx] x \geq  0 [/texx] tendríamos que [texx] 0 > f'(0) \geq f'(x) [/texx] para todo [texx] x \in [0,+\infty[ [/texx]

En consecuencia [texx] f(x) \leq f'(0) \cdot x + f(0) [/texx] y mira que pasa con [texx]x = \dfrac{-f(0)}{f'(0)} > 0  [/texx]
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« Respuesta #2 : 08/06/2018, 12:52:09 pm »

Y si la derivada primera en [texx]x=0[/texx] no existiera?
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #3 : 08/06/2018, 04:05:28 pm »

Pero la función [texx]f'[/texx] es continua en [texx] [0+\infty[ [/texx] por la existencia de [texx]f''[/texx] en [texx][0,+\infty[ [/texx]
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« Respuesta #4 : 08/06/2018, 06:36:15 pm »

Hola

Si [texx]f(x)>0, f'(x)<0[/texx] para todo [texx]x\geq{}0[/texx] y [texx]f''(x)[/texx] no cambia de signo entonces [texx]f''(x)>0[/texx] para todo [texx]x\geq{}0.[/texx]

Saludos

Suponiendo la función continua y derivable en    [texx][0+\infty)[/texx].

Si    [texx]f'(x)<0[/texx]    para    [texx]x\geq{0}[/texx]    entonces la función decrece para     [texx]x\geq{0}[/texx],    y si    [texx]f''(x)[/texx]    no cambia de signo entonces lo hace sin puntos de inflexión. Esto es, decrece siendo cóncava, decrece siendo convexa o decrece linealmente para    [texx]x\geq{0}[/texx]. ¿No?

Saludos.

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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #5 : 08/06/2018, 08:09:33 pm »

El problema no está en [texx]f[/texx] si es convexa o cóncava el problema está en [texx]f'' [/texx] ver si tendrá el mismo signo siempre.
Editado
Mejor dicho ,  para saber que es convexa o cóncava se necisita saber el signo de la derivada [texx]f'' [/texx] , que es lo que hay que sacar.
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« Respuesta #6 : 09/06/2018, 04:01:16 am »

El problema no está en [texx]f[/texx] si es convexa o cóncava el problema está en [texx]f'' [/texx] ver si tendrá el mismo signo siempre.
Editado
Mejor dicho ,  para saber que es convexa o cóncava se necisita saber el signo de la derivada [texx]f'' [/texx] , que es lo que hay que sacar.


Pues no se entonces si entiendo el enunciado, a ver si lo que afirma o pregunta es la veracidad de:

[texx]\forall{x>0}.\bigg[\big(f(x)>0\big)\wedge\big(f'(x)<0\big)\wedge\Big(\big(f''(x)>0\big)\vee \big(f''(x)<0\big)\Big)\Rightarrow{f''(x)>0}\bigg][/texx].

Siendo así, a mi juicio, la implicación no tiene por que ser cierta,    [texx]a\vee b\Rightarrow{b}[/texx]    y    [texx]a\vee b\Rightarrow{a}[/texx]    no son tautologías, también podría ser cierto

[texx]\forall{x>0}.\bigg[\big(f(x)>0\big)\wedge\big(f'(x)<0\big)\wedge\Big(\big(f''(x)>0\big)\vee \big(f''(x)<0\big)\Big)\Rightarrow{f''(x)<0}\bigg][/texx].

Es decir, determinar el signo de    [texx]f''(x)[/texx]    con las hipótesis dadas no es posible. ¿No?

Saludos.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #7 : 11/06/2018, 08:42:06 am »

Hola

Y si la derivada primera en [texx]x=0[/texx] no existiera?

Puedes razonar igual que indica Juan Pablo desde cualquier [texx]a>0[/texx] (y por tanto en [texx](0,+\infty)[/texx]).

Tienes que para [texx]a>x[/texx]:

[texx]f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)[/texx] con [texx]c\in (a,x)[/texx]

Si [texx]f''(x)\leq 0[/texx] tienes que la derivada es decreciente y así:

[texx]f(x)\leq f(a)+f'(a)(x-a)[/texx]

Tomando [texx]x=a-\dfrac{f(a)}{f'(a)}>a[/texx] tendrías que [texx]f(x)\leq 0.[/texx]

Saludos.
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