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Autor Tema: Problema de Optimización con cota superior decreciente  (Leído 1007 veces)
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Aro
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« : 11/06/2018, 05:30:56 am »

Hola, necesito calcular este máximo.

$$
\max_{a\leq \frac{b}{1-db}}\frac{1}{1+da}(-a\log(a)-(1-a)\log(1-a))
$$
Donde [texx]b\rightarrow 0[/texx], [texx]d=\frac{n}{b}[/texx] y [texx]n\in\mathbb{R}[/texx] es una constante.
___________________________________________________________________________

Esto es lo que he hecho,

Primero traté de simplificar el problema, así que consideré el caso donde [texx]b[/texx] sigue tendiendo a [texx]0[/texx] pero [texx]d[/texx] se mantiene constante. Y el máximo (obviamente) se alcanza cuando [texx]a[/texx] toma el valor de su cota superior.

Con el problema completo (donde [texx]d=\frac{n}{b}[/texx] y [texx]b[/texx] tiende a [texx]0[/texx]), empecé por graficar algunos casos específicos, y parece que la evaluación de la cota superior es de nuevo el máximo... (al menos en los casos que vi) pero por supuesto esto es sólo para tener una idea, y no es una prueba en absoluto...

Para la demostración formal traté de optimizar la expresión evaluada en algo como [texx]xb[/texx] (porque creo que el valor de [texx]a[/texx]  debe depender de [texx]b[/texx])  pero no conseguí nada interesante.

Cuanquier ayuda será apreciada!
Gracias de antemano.

ARo.
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« Respuesta #1 : 13/06/2018, 05:40:03 am »

Acabo de notar los errores de tipografía por la falta de símbolos de laTeX, lo siento, ya los correguí.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 13/06/2018, 06:55:15 am »

Hola

 ¿Cuáles son las condiciones sobre [texx]n[/texx]? ¿[texx]n\in (0,1)[/texx]?.

Saludos.
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Aro
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« Respuesta #3 : 13/06/2018, 07:05:06 am »

Hola Luis,

En efecto, [texx]n\in(0,1)[/texx], gracias por la observación.

Saludos.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 13/06/2018, 07:50:05 am »

Hola

 Se cumple si no me equivoco que:

[texx]\displaystyle\lim_{b \to 0}{}max_{a\in [0,1]}\frac{1}{1+da}(-a\log(a)-(1-a)\log(1-a))=0[/texx]

 Así que la restricción [texx]a\leq \dfrac{b}{1-db}[/texx] es intrascendente.

Te puede ser cómodo acotar [texx]-a\log(a)-(1-a)\log(1-a)[/texx] por [texx]ka(1-a)[/texx] para un [texx]k[/texx] suficientemente grande.

Saludos.

CORREGIDO. Lo que está en rojo está mal.
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« Respuesta #5 : 13/06/2018, 08:41:01 am »

Hola,

Es cierto, entiendo que el límite tiende a cero, pero me interesa obtener el máximo antes para saber con qué velocidad decrece esta expresión...
Por eso consideré primero el caso [texx]d[/texx] constante y lo que obtuve fue que,

\begin{eqnarray}
C=\nonumber max_{a\leq \frac{b}{1-db}}\frac{1}{1+da}(-a\log(a)-(1-a)\log(1-a))&=&\frac{1}{1+d\frac{b}{1-db}}(-\frac{b}{1-db}\log(\frac{b}{1-db})-(1-\frac{b}{1-db})\log(1-\frac{b}{1-db}))\\
\nonumber &=& (1-db)\log(1-db)-b\log(b)-(1-db-b)\log(1-db-b)\\
\nonumber &\approx& -db-b\log(b)+db+b+o(b)\\
\nonumber &=&-b\log(b)+b+o(b)
\end{eqnarray}

Y así es como decrece la expresión.

Ahora quiero hacer lo mismo para cuando [texx]d=\frac{n}{b}[/texx], en este caso, si [texx]a=\frac{b}{1-db}[/texx] fuese óptimo, por un procedimiento similar tendría que [texx]C\approx -b\log(b)+b+b\log(1-n)[/texx]. Pero necesito saber si ese valor de [texx]a[/texx] optimiza la expresi'on o si no calcular el óptimo...

saludos!
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« Respuesta #6 : 13/06/2018, 08:45:19 am »

Hola

Es cierto, entiendo que el límite tiende a cero, pero me interesa obtener el máximo antes para saber con qué velocidad decrece esta expresión...
Por eso consideré primero el caso [texx]d[/texx] constante y lo que obtuve fue que,

\begin{eqnarray}
C=\nonumber max_{a\leq \frac{b}{1-db}}\frac{1}{1+da}(-a\log(a)-(1-a)\log(1-a))&=&\frac{1}{1+d\frac{b}{1-db}}(-\frac{b}{1-db}\log(\frac{b}{1-db})-(1-\frac{b}{1-db})\log(1-\frac{b}{1-db}))\\
\nonumber &=& (1-db)\log(1-db)-b\log(b)-(1-db-b)\log(1-db-b)\\
\nonumber &\approx& -db-b\log(b)+db+b+o(b)\\
\nonumber &=&-b\log(b)+b+o(b)
\end{eqnarray}

Y así es como decrece la expresión.

Ahora quiero hacer lo mismo para cuando [texx]d=\frac{n}{b}[/texx], en este caso, si [texx]a=\frac{b}{1-db}[/texx] fuese óptimo, por un procedimiento similar tendría que [texx]C\approx -b\log(b)+b+b\log(1-n)[/texx]. Pero necesito saber si ese valor de [texx]a[/texx] optimiza la expresi'on o si no calcular el óptimo...

Por lo que he visto (gráficamente) el óptimo depende de la relación entre [texx]n[/texx] y [texx]b[/texx], es decir, dependiendo de sus valores la función alcanza el máximo antes o después de la cota [texx]\dfrac{b}{1-db}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #7 : 13/06/2018, 04:32:06 pm »

Hay algún método alternativo para calcular este máximo? Ahora que además según me comentas mi primera intuición (que el máximo se alcanzaba en la cota superior) es incorrecto no sé qué hacer... Me he pasado la tarde tratando de encontrar las raíces de la derivada para hacerlo analíticamente pero no lo he conseguido... Cómo comenté antes también traté evaluando [texx] a[/texx] en un valor como [texx]xb[/texx] pero no he conseguido nada por aquí tampoco...
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martiniano
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« Respuesta #8 : 14/06/2018, 02:41:28 am »

Este mensaje es incorrecto, me equivoco al derivar

Hola, buenas.

Yo lo que he estado haciendo es lo siguiente, no sé si servirá:

[texx]f(a)=\displaystyle\frac{1}{1+da}[-a\,log(a)-(1-a)\,log(1-a)]=\displaystyle\frac{b}{b+na}[-a\,log(a)-(1-a)\,log(1-a)]  [/texx][texx]\;\Rightarrow{}[/texx]  [texx]f'(a)=\displaystyle\frac{bn}{(b+na)^2}[a\,log(a)+(1-a)\,log(1-a)]-\displaystyle\frac{b}{b+na}log(a(1-a))[/texx]

Igualando esto a cero se llega a que:

[texx]\displaystyle\frac{n}{b+na}[a\,log(a)+(1-a)\,log(1-a)]-log(a(1-a))=0[/texx]

Y desde aquí haciendo [texx]b\rightarrow{}0[/texx]

[texx]log\left[a\cdot{}(1-a)^{\displaystyle\frac{1-a}{a}}\right]-log(a(1-a))=0\;\Rightarrow{}\;(1-a)^{\displaystyle\frac{1-a}{a}-1}=1\;\Rightarrow{}\;\displaystyle\frac{1-a}{a}-1=0\;\Rightarrow{}\;a=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]

Pero claro, lo que me despista es la condición [texx]a\leq{}\displaystyle\frac{b}{1-db}=\displaystyle\frac{b}{1-n}\rightarrow{}0[/texx] ...

Saludos.

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Aro
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« Respuesta #9 : 14/06/2018, 04:49:43 am »

Pero claro, lo que me despista es la condición [texx]a\leq{}\displaystyle\frac{b}{1-db}=\displaystyle\frac{b}{1-n}\rightarrow{}0[/texx]...


Hola martiniano, muchas gracias por tu aporte, la condición sobre [texx]a[/texx] en efecto tiende a cero, la cosa es que me gustaria calcular el máximo con esa condición antes de hacer tender a [texx]b[/texx] a cero, porque me gustaría entender como decrece el límite, como hice aquí:

Hola,

Es cierto, entiendo que el límite tiende a cero, pero me interesa obtener el máximo antes para saber con qué velocidad decrece esta expresión...
Por eso consideré primero el caso [texx]d[/texx] constante y lo que obtuve fue que,

\begin{eqnarray}
C=\nonumber max_{a\leq \frac{b}{1-db}}\frac{1}{1+da}(-a\log(a)-(1-a)\log(1-a))&=&\frac{1}{1+d\frac{b}{1-db}}(-\frac{b}{1-db}\log(\frac{b}{1-db})-(1-\frac{b}{1-db})\log(1-\frac{b}{1-db}))\\
\nonumber &=& (1-db)\log(1-db)-b\log(b)-(1-db-b)\log(1-db-b)\\
\nonumber &\approx& -db-b\log(b)+db+b+o(b)\\
\nonumber &=&-b\log(b)+b+o(b)
\end{eqnarray}

Y así es como decrece la expresión.

Ahora quiero hacer lo mismo para cuando [texx]d=\frac{n}{b}[/texx], en este caso, si [texx]a=\frac{b}{1-db}[/texx] fuese óptimo, por un procedimiento similar tendría que [texx]C\approx -b\log(b)+b+b\log(1-n)[/texx]. Pero necesito saber si ese valor de [texx]a[/texx] optimiza la expresi'on o si no calcular el óptimo...

saludos!

De hecho, el que hayas conseguido que el valor [texx]\frac{1}{2}[/texx] optimiza la expresión me causa mucha intriga, pues yo me esperaba un valor dependiente de [texx]b[/texx] y [texx]n[/texx]... aunque supongo que es por haber calculado el límite antes... Ahora, ¿eso quiere decir que el óptimo se alcanza en [texx]\frac{1}{2}[/texx] siempre que [texx]\frac{1}{2}\leq \frac{b}{1-db}[/texx]?

Saludos.
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« Respuesta #10 : 14/06/2018, 05:05:59 am »

Hola

De hecho, el que hayas conseguido que el valor [texx]\frac{1}{2}[/texx] optimiza la expresión me causa mucha intriga, pues yo me esperaba un valor dependiente de [texx]b[/texx] y [texx]n[/texx]... aunque supongo que es por haber calculado el límite antes... Ahora, ¿eso quiere decir que el óptimo se alcanza en [texx]\frac{1}{2}[/texx] siempre que [texx]\frac{1}{2}\leq \frac{b}{1-db}[/texx]?

Es que tiene un error en las cuentas. No es cierto que el óptimo se alcance (ni se acerque a [texx]1/2[/texx]).

El punto donde se alcanza el máximo se acerca a [texx]0[/texx] a medida que [texx]b\to 0[/texx].

El error esta aquí:

[texx]f(a)=\displaystyle\frac{1}{1+da}[-a\,log(a)-(1-a)\,log(1-a)]=\displaystyle\frac{b}{b+na}[-a\,log(a)-(1-a)\,log(1-a)]  [/texx][texx]\;\Rightarrow{}[/texx]  [texx]f'(a)=\displaystyle\frac{bn}{(b+na)^2}[a\,log(a)+(1-a)\,log(1-a)]-\displaystyle\frac{b}{b+na}log(\color{red}a(1-a)\color{black})[/texx]

Ese término es:

[texx]log(\color{red}a/(1-a)\color{black})[/texx]

El mínimo se alcanza en la solución de:

[texx](1-a)^{1+\frac{n}{b}}=a[/texx] (*)

Me gustaría que precisarás mejor exactamente cual es el contexto de tu problema y que quieres resolver. Cuando escribiste [texx]b\to 0[/texx] parecía que simplemente te interesaba el caso límite; pero ahora parece que en realidad te interesa el máximo para valores concretos de [texx]b[/texx].

Desde un un punto de vista teórico no hay duda, el máximo dependiendo de [texx]n[/texx] y [texx]b[/texx] o bien se alcanza en la solución de (*) o bien en el límite de la cota [texx]a=\dfrac{b}{1-db}[/texx].

Y para valores concretos de [texx]n,b [/texx]uno puede computacionalmente (con métodos numéricos) hallar exactamente el valor del máximo. Explícitamente no porque (*) no puede ser resuelta de manera explícita.

Dicho todo eso retomo mi pregunta. ¿Exactamente qué necesitas?.

Saludos.
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martiniano
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« Respuesta #11 : 14/06/2018, 05:25:12 am »

Tienes toda la razón, se me pasó un "-" por ahí. Gracias
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« Respuesta #12 : 14/06/2018, 05:56:19 am »


El punto donde se alcanza el máximo se acerca a [texx]0[/texx] a medida que [texx]b\to 0[/texx].

El error esta aquí:

[texx]f(a)=\displaystyle\frac{1}{1+da}[-a\,log(a)-(1-a)\,log(1-a)]=\displaystyle\frac{b}{b+na}[-a\,log(a)-(1-a)\,log(1-a)]  [/texx][texx]\;\Rightarrow{}[/texx]  [texx]f'(a)=\displaystyle\frac{bn}{(b+na)^2}[a\,log(a)+(1-a)\,log(1-a)]-\displaystyle\frac{b}{b+na}log(\color{red}a(1-a)\color{black})[/texx]

Ese término es:

[texx]log(\color{red}a/(1-a)\color{black})[/texx]


Hola, Sí! Gracias por la observación, lo noté intentando derivar yo...

El mínimo se alcanza en la solución de:

[texx](1-a)^{1+\frac{n}{b}}=a[/texx] (*)
...
Desde un un punto de vista teórico no hay duda, el máximo dependiendo de [texx]n[/texx] y [texx]b[/texx] o bien se alcanza en la solución de (*) o bien en el límite de la cota [texx]a=\dfrac{b}{1-db}[/texx].

Me puedes decir como sabes esto? y como consigo esa relación?

Me gustaría que precisarás mejor exactamente cual es el contexto de tu problema y que quieres resolver. Cuando escribiste [texx]b\to 0[/texx] parecía que simplemente te interesaba el caso límite; pero ahora parece que en realidad te interesa el máximo para valores concretos de [texx]b[/texx].
...
Dicho todo eso retomo mi pregunta. ¿Exactamente qué necesitas?.

Saludos.

Yo más que el valor del límite, (que está claro que es cero) quiero saber que tan rápido decrece con diferentes condiciones para [texx]d[/texx], porque el valor de ese máximo es la capacidad de cierto canal óptico y la [texx]b[/texx] es una condición en la potencia de la señal, así que lo que quiero saber, es la velocidad con la que empeora la capacidad del canal cuando limito cada vez más la potencia de la señal. Ya sé (en lo que hice más arriba) que cuando [texx]d[/texx] es constante, su valor no afecta a los términos de primer y segundo orden, lo que quiero es encontrar una conclusión como esta para el caso [texx]d=\frac{n}{b}[/texx]
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« Respuesta #13 : 14/06/2018, 07:56:16 am »

Este mensaje es incorrecto, me equivoco al derivar

Hola, buenas.

Yo lo que he estado haciendo es lo siguiente, no sé si servirá:

[texx]f(a)=\displaystyle\frac{1}{1+da}[-a\,log(a)-(1-a)\,log(1-a)]=\displaystyle\frac{b}{b+na}[-a\,log(a)-(1-a)\,log(1-a)]  [/texx][texx]\;\Rightarrow{}[/texx]  [texx]f'(a)=\displaystyle\frac{bn}{(b+na)^2}[a\,log(a)+(1-a)\,log(1-a)]-\displaystyle\frac{b}{b+na}log(a(1-a))[/texx]

Igualando esto a cero se llega a que:

[texx]\displaystyle\frac{n}{b+na}[a\,log(a)+(1-a)\,log(1-a)]-log(a(1-a))=0[/texx]

Y desde aquí haciendo [texx]b\rightarrow{}0[/texx]

[texx]log\left[a\cdot{}(1-a)^{\displaystyle\frac{1-a}{a}}\right]-log(a(1-a))=0\;\Rightarrow{}\;(1-a)^{\displaystyle\frac{1-a}{a}-1}=1\;\Rightarrow{}\;\displaystyle\frac{1-a}{a}-1=0\;\Rightarrow{}\;a=\displaystyle\frac{1}{2}[/texx]

Pero claro, lo que me despista es la condición [texx]a\leq{}\displaystyle\frac{b}{1-db}=\displaystyle\frac{b}{1-n}\rightarrow{}0[/texx] ...

Saludos.



Estoy imitando este procedimiento con la derivada correcta,

[texx]f'(a)=\displaystyle\frac{bn}{(b+na)^2}[a\,log(a)+(1-a)\,log(1-a)]-\displaystyle\frac{b}{b+na}log(\frac{a}{(1-a)})[/texx]

Igualando a cero:

[texx]\displaystyle\frac{n}{b+na}[a\,log(a)+(1-a)\,log(1-a)]-log(\frac{a}{(1-a)})=0[/texx]

Y tomando [texx]b\rightarrow{}0[/texx]

[texx]log\left[a\cdot{}(1-a)^{\displaystyle\frac{1-a}{a}}\right]-log(\frac{a}{(1-a)})=0\;\Rightarrow{}\;(1-a)^{\displaystyle\frac{1-a}{a}+1}=1\;\Rightarrow{}\;\displaystyle\frac{1-a}{a}+1=0[/texx]

Pero llego a la ecuación sin soluciones

[texx]1-a=-a[/texx]
 :¿eh?: :¿eh?:

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« Respuesta #14 : 14/06/2018, 08:34:22 am »

Hola

[texx]\displaystyle\frac{n}{b+na}[a\,log(a)+(1-a)\,log(1-a)]-log(\frac{a}{(1-a)})=0[/texx]

Y tomando [texx]b\rightarrow{}0[/texx]

[texx]log\left[a\cdot{}(1-a)^{\displaystyle\frac{1-a}{a}}\right]-log(\frac{a}{(1-a)})=0\;\color{red}\Rightarrow{}\;(1-a)^{\displaystyle\frac{1-a}{a}+1}=1\;\Rightarrow{}\;\displaystyle\frac{1-a}{a}+1=0\color{black}[/texx]

Pero llego a la ecuación sin soluciones

[texx]1-a=-a[/texx]

Estás obviando en lo marcado en rojo la posibilidad de que la base [texx]1-a=1[/texx] en cuyo caso tienes una indeterminación. Resolverla sin más tomando el límite cuando [texx]a\to 0[/texx], no es correcto porque en esa expresión ya has tomado [texx]b\to 0[/texx] y [texx]a[/texx] (el punto donde obtiene el máximo) y b son variables ligadas; no puedes tomar por separado el límite de una y otra.

Si antes de hacer el paso [texx]b\to 0 [/texx]operas un poco la derivada te queda la ecuación:

[texx](1+n/b)log(1-a)-log(a)=0[/texx]

Equivalentemente:

[texx](1-a)^{1+d}-a=0[/texx]

Es fácil ver que esa ecuación tiene una única solución en [texx][0,1][/texx]. Además si llamas [texx]p_d(x)=(1-x)^{1+d}-x[/texx] la función es decreciente, con [texx]p_d(0)=1[/texx] y [texx]p_d(1)=-1[/texx]. Fijado [texx]x>0[/texx] cuando [texx]d\to \infty[/texx] entonces [texx]p_d(x)<0[/texx] y eso quiere decir que para [texx]d[/texx] sufientemente grande la solución es menor que cualquier [texx]x>0[/texx]. Dicho de otra manera el único cero de esa función tiende a cero cuando [texx]d\to \infty[/texx] o lo que es lo mismo cuando [texx]b\to 0[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #15 : 14/06/2018, 08:58:55 am »

Hola,


Si antes de hacer el paso [texx]b\to 0 [/texx]operas un poco la derivada te queda la ecuación:

[texx](1+n/b)log(1-a)-log(a)=0[/texx]

Equivalentemente:

[texx](1-a)^{1+d}-a=0[/texx]
Como es que la ecuación de la derivada igualada a cero es equivalente a esta.
Es por esto que la solución de [texx](1-a)^{1+d}-a=0[/texx] determina el mínimo?


Es fácil ver que esa ecuación tiene una única solución en [texx][0,1][/texx]. Además si llamas [texx]p_d(x)=(1-x)^{1+d}-x[/texx] la función es decreciente, con [texx]p_d(0)=1[/texx] y [texx]p_d(1)=-1[/texx]. Fijado [texx]x>0[/texx] cuando [texx]d\to \infty[/texx] entonces [texx]p_d(x)<0[/texx] y eso quiere decir que para [texx]d[/texx] sufientemente grande la solución es menor que cualquier [texx]x>0[/texx]. Dicho de otra manera el único cero de esa función tiende a cero cuando [texx]d\to \infty[/texx] o lo que es lo mismo cuando [texx]b\to 0[/texx].

Como te comentaba antes, ya sé que el máximo tiende a cero, pero lo que quiero saber es qué tan rápido lo hace.
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« Respuesta #16 : 15/06/2018, 05:48:13 am »

Hola

Hola,


Si antes de hacer el paso [texx]b\to 0 [/texx]operas un poco la derivada te queda la ecuación:

[texx](1+n/b)log(1-a)-log(a)=0[/texx]

Equivalentemente:

[texx](1-a)^{1+d}-a=0[/texx]
Como es que la ecuación de la derivada igualada a cero es equivalente a esta.
Es por esto que la solución de [texx](1-a)^{1+d}-a=0[/texx] determina el mínimo?

¿Exactamente que fórmula no sabes de donde sale; la segunda sale de la primera metiendo todo en un sólo logaritmo.  La primera de hacer cuentas en la expresión de la derivada.

Cita
Como te comentaba antes, ya sé que el máximo tiende a cero, pero lo que quiero saber es qué tan rápido lo hace.

¿Quieres saber la rapidez con respecto a[texx] b[/texx]? ¿Del punto donde se alcanza el máximo o del valor del máximo?.

Saludos.
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