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Autor Tema: Integral de superficie.  (Leído 635 veces)
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zimbawe
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« : 15/06/2018, 09:48:39 pm »

Hola, tengo el siguiente ejercicio. ¿Me podrían echar una mano?
Considere el cilindro [texx]x^2+y^2=4[/texx] el paraboloide [texx]x^2+y^2+z=16[/texx] y la región  [texx]\epsilon[/texx] del espacio que es interior tanto al cilindro como al paraboloide, y que se encuentra sobre la suma de intersección de ambos.
Calcule
[texx]\displaystyle\int\displaystyle\int_{S}\vec{F}\cdot{d\vec{S}}[/texx] donde [texx]\vec{F}=\left<{2x, z, 2z}\right>[/texx] y [texx]S=d\epsilon[/texx] es la superficie que encierra el volumen de la región descrita.

Si aplico, el teorema de la divergencia obtengo que:
[texx]Div(\vec{F})=4[/texx]
Luego [texx]\displaystyle\int\displaystyle\int_{S}\vec{F}\cdot{d\vec{S}}=\displaystyle\int\displaystyle\int\displaystyle\int_{E}4dzdxdy[/texx] donde E es el volumen acotado por la región.

¿El volumen de la región vendría dado por: [texx]2\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{12}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{12-x^2}} (4-x^2-y^2)dydx[/texx]?
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hméndez
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« Respuesta #1 : 15/06/2018, 11:48:31 pm »

Hola, tengo el siguiente ejercicio. ¿Me podrían echar una mano?
Considere el cilindro [texx]x^2+y^2=4[/texx] el paraboloide [texx]x^2+y^2+z=16[/texx] y la región  [texx]\epsilon[/texx] del espacio que es interior tanto al cilindro como al paraboloide, y que se encuentra sobre la suma de intersección de ambos.
Calcule
[texx]\displaystyle\int\displaystyle\int_{S}\vec{F}\cdot{d\vec{S}}[/texx] donde [texx]\vec{F}=\left<{2x, z, 2z}\right>[/texx] y [texx]S=d\epsilon[/texx] es la superficie que encierra el volumen de la región descrita.

Si aplico, el teorema de la divergencia obtengo que:
[texx]Div(\vec{F})=4[/texx]
Luego [texx]\displaystyle\int\displaystyle\int_{S}\vec{F}\cdot{d\vec{S}}=\displaystyle\int\displaystyle\int\displaystyle\int_{E}4dzdxdy[/texx] donde E es el volumen acotado por la región.

¿El volumen de la región vendría dado por: [texx]2\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{12}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{12-x^2}} (4-x^2-y^2)dydx[/texx]?


Efectivamente por el teorema de la divergencia es 4 veces el volumen E. Considerando la simetría que E tiene respecto al eje Z
(haz un bosquejo de las gráficas, ambas son superficies de revolución en torno al eje Z) esto se puede escribir:

[texx]4 V_{E}=4\cdot{}4\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{4-x^2}}\displaystyle\int_{12}^{16-x^2-y^2}dz\;dy\;dx[/texx]

O en cilíndricas:

[texx]4V_{E}=4\cdot{}4\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{12}^{16-r^2}r\;dz\;dr\;dt[/texx]


[texx]4V_{E}=32\pi[/texx]

Saludos
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zimbawe
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« Respuesta #2 : 16/06/2018, 12:49:15 am »

Cometí un error y no me había percatado. Muchas gracias.
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