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Autor Tema: Demostrar que una función a trozos es C1  (Leído 259 veces)
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benlolo
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« : 10/06/2018, 02:04:46 pm »

Hola, tengo varias dudas acerca del siguiente ejercicio:

Dada [texx]f(x)=\begin{cases} cos(xy) & \text{si}& xy\geq{0}\\1+x^2y^2 & \text{si}& xy<0\end{cases}[/texx]

Demostrar que es [texx]C^1[/texx] en [texx]\mathbb{R}^2[/texx].

Puedo ver que f es diferenciable utilizando la composición [texx]f=g\circ{h}[/texx] con [texx]g(x)=\begin{cases} cos(t) & \text{si}& t\geq{0}\\1+t^2 & \text{si}& t<0\end{cases}[/texx] y [texx]h(x,y)=xy[/texx]

Además cada una de esas funciones tiene las derivadas parciales (derivada en la primera) continuas en todo [texx]\mathbb{R}[/texx]. Pero no se si eso implique que [texx]f[/texx] sea [texx]C^1[/texx]. ¿O acaso debo considerar [texx]D_1f=\begin{cases} -ysin(xy) & \text{si}& xy\geq{0}\\2xy^2 & \text{si}& xy<0\end{cases}[/texx] y la otra derivada parcial y estudiar su continuidad. Gracias de antemano.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 10/06/2018, 04:40:29 pm »

Bienvenido al foro.

Dada [texx]f(x)=\begin{cases} cos(xy) & \text{si}& xy\geq{0}\\1+x^2y^2 & \text{si}& xy<0\end{cases}[/texx] Demostrar que es [texx]C^1[/texx] en [texx]\mathbb{R}^2[/texx]. Puedo ver que f es diferenciable utilizando la composición [texx]f=g\circ{h}[/texx] con [texx]g(x)=\begin{cases} cos(t) & \text{si}& t\geq{0}\\1+t^2 & \text{si}& t<0\end{cases}[/texx] y [texx]h(x,y)=xy[/texx] Además cada una de esas funciones tiene las derivadas parciales (derivada en la primera) continuas en todo [texx]\mathbb{R}[/texx]. Pero no se si eso implique que [texx]f[/texx] sea [texx]C^1[/texx].

Tu planteamiento es correcto. Tenemos [texx]h\in C^1(\mathbb{R}^2)[/texx] y [texx]g\in C^1(\mathbb{R}).[/texx] Además, [texx]f=g\circ{h}[/texx] y por una conocida propiedad, la composición de funciones de clase [texx]1[/texx] es de clase [texx]1.[/texx]
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benlolo
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« Respuesta #2 : 11/06/2018, 05:16:18 pm »

Gracias por la bienvenida Fernando.
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