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Autor Tema: Aplicar teorema de divergencia de Gauss  (Leído 1087 veces)
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adhemir
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« : 10/06/2018, 09:45:15 pm »

[texx]\displaystyle\iint_{S} x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy[/texx] siendo [texx]S[/texx]
la superficie exterior del tetraedro delimitado por los planos coordenados y por el plano
[texx]x+y+z=1[/texx]

Lo hice aplicando el teorema de la divergencia de Gauss  y me salió : [texx]1/3[/texx] pero en la respuesta del libro sale [texx]1/4[/texx]

 :BangHead: :¿eh?:     
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hméndez
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« Respuesta #1 : 10/06/2018, 11:09:50 pm »

[texx]\displaystyle\iint_{S} x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy[/texx] siendo [texx]S[/texx]
la superficie exterior del tetraedro delimitado por los planos coordenados y por el plano
[texx]x+y+z=1[/texx]

Lo hice aplicando el teorema de la divergencia de Gauss  y me salió : [texx]1/3[/texx] pero en la respuesta del libro sale [texx]1/4[/texx]

 :BangHead: :¿eh?:     

Para la próxima muestra lo que has hecho.

Con la divergencia tienes:

[texx]2\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-x}\displaystyle\int_{0}^{1-x-y}(x+y+z)\;dz\;dy\;dx=\displaystyle\frac{1}{4}[/texx]

Saludos
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adhemir
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« Respuesta #2 : 11/06/2018, 09:14:43 am »

hice exactamente esto, pero no consigo ver mi error  :¿eh?:

[texx]2\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-x}\displaystyle\int_{0}^{1-x-y}(x+y+z)\;dz\;dy\;dx=2\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-x}\displaystyle\int_{0}^{1-x-y}1\;dz\;dy\;dx=[/texx]

[texx]=2\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-x}(1-x-y)dydx=2\displaystyle\int_{0}^{1}((1-x)-x(1-x)-\frac{(1-x)^2}{2})dx[/texx]


[texx] =2\int_{0}^{1}(1-x-x+x^2-\frac{1}{2}+x-\frac{x^2}{2})dx=2\int_{0}^{1}(\frac{1}{2}-x+\frac{x^2}{2})dx  [/texx]

[texx]=2(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6})\Big|_{0}^{1}=2(1/2-1/2+1/6)=1/3[/texx]



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Abdulai
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« Respuesta #3 : 11/06/2018, 09:31:25 am »

hice exactamente esto, pero no consigo ver mi error  :¿eh?:

[texx]2\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-x}\displaystyle\int_{0}^{1-x-y}(x+y+z)\;dz\;dy\;dx=2\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-x}\displaystyle\int_{0}^{1-x-y}1\;dz\;dy\;dx=[/texx]
...

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-x}\displaystyle\int_{0}^{1-x-y}(x+y+z)\;dz\;dy\;dx \neq \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{0}^{1-x}\displaystyle\int_{0}^{1-x-y}1\;dz\;dy\;dx=[/texx]
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« Respuesta #4 : 11/06/2018, 10:05:06 am »

Porque no puedo substituir directamente [texx]x+y+z=1[/texx]  si es el dato inicial :¿eh?:
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hméndez
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« Respuesta #5 : 11/06/2018, 10:53:05 am »

Porque no puedo substituir directamente [texx]x+y+z=1[/texx]  si es el dato inicial :¿eh?:

Recuerda que durante la integración se evalua la expresión [texx]x+y+z[/texx] en cada punto del tetraedro, mientras que
esta sólo vale 1 para puntos en su cara inclinada.

Saludos
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adhemir
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« Respuesta #6 : 11/06/2018, 11:42:49 am »

Porque no puedo substituir directamente [texx]x+y+z=1[/texx]  si es el dato inicial :¿eh?:

Recuerda que durante la integración se evalua la expresión [texx]x+y+z[/texx] en cada punto del tetraedro, mientras que
esta sólo vale 1 para puntos en su cara inclinada.

Saludos


Muy bien gracias,  pequeño detalle que se me paso .
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