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Autor Tema: demostración de que un conjunto es abierto en los reales  (Leído 817 veces)
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angiepaola
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« : 08/06/2018, 05:21:50 pm »

Sean [texx]B=\left\{{(-a,a) | a \in \mathbb{R}^+}\right\}[/texx] una base parauna topologíasobre \mathbb{R} y [texx]A=(-\displaystyle\frac{1}{2} , 1)[/texx]. Demostrar que [texx] A [/texx] no es generado por la topología [texx]B[/texx].


Yo quise ver que el conjunto [texx]A[/texx] no es abierto en esa topología. En efecto: Un conjunto [texx]A[/texx] es abierto, si para todo punto x del conjunto [texx]A[/texx] existe un abierto [texx]B_{1}[/texx] tal que [texx] x \in B_{1} \subseteq{ A}[/texx].

Tomemos un [texx]\epsilon > 0[/texx] y sea [texx]B_{1}=(-a,a)[/texx] donde [texx]-a = x-\epsilon[/texx] y [texx]a=-x+\epsilon[/texx] si [texx]x<0[/texx]
                                                                                         ó [texx]-a = -x-\epsilon[/texx] y [texx]a=x+\epsilon[/texx] si [texx]x\geq{0}[/texx].

Si tomamos el punto [texx]x=\frac{1}{2}[/texx], entonces existe [texx]B_{1}=(-\frac{1}{2}-\epsilon, \frac{1}{2}+\epsilon) \in B[/texx], pero [texx] (-\frac{1}{2}-\epsilon, \frac{1}{2}+\epsilon) \not\subseteq{A}[/texx]. Por lo tanto el conjunto [texx]A[/texx] no es abiertoen esa topología.

Tengo dos preguntas: 1. Si el razonamiento esta bien hecho.
                              2. Como demuestro que el conjunto [texx]A[/texx] no es generado por elementos de [texx]B[/texx], es decir, como demuestro que A no es una unión de elementos de la base.

Muchas gracias!!!
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« Respuesta #1 : 09/06/2018, 12:21:07 am »

No está del todo bien, has mezclado [texx]B[/texx] y [texx]A[/texx]. Fíjate que [texx](-1/2+\epsilon,1/2+\epsilon)\in A[/texx] para [texx]-1/2<\epsilon<1/2[/texx].

Para demostrar que [texx]A[/texx] no pertenece a esa topología, llamémosla [texx]\mathcal T(B)[/texx], observa que para cualquier [texx]C\in\mathcal T(B)[/texx] tenemos que [texx]x\in C\iff -x\in C[/texx] ya que [texx]C[/texx] es unión de algunos elementos de [texx]B[/texx] y tal propiedad se cumple para todo elemento de [texx]B[/texx].

Dicho de otro modo: tenemos que [texx]C=\bigcup_{i\in\tt I} O_i[/texx], donde [texx]O_i\in B[/texx] para todo [texx]i\in\tt I[/texx] (siendo un [texx]\tt I[/texx] un índice cualquiera). Entonces si [texx]x\in C[/texx] necesariamente existe un [texx]i\in\tt I[/texx] tal que [texx]x\in O_i[/texx], y como todo [texx]O_i[/texx] es de la forma [texx](-a,a)[/texx] para algún [texx]a\in\Bbb R^+[/texx] entonces [texx]-x\in O_i[/texx].

Pero tenemos que [texx]3/4\in A[/texx] y sin embargo [texx]-3/4\notin A[/texx], así que [texx]A[/texx] no es unión de elementos de [texx]B[/texx].
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