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Autor Tema: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).  (Leído 2787 veces)
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« Respuesta #20 : 11/06/2018, 05:37:43 am »

Lo primero para poder aplicar las propiedades de la derivada a la función

[texx](g\circ{f})(x)=2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)-x[/texx]

es suponer    [texx]f\in{D(\mathbb{R})}[/texx]    o mejor aún    [texx]g\circ{f}\in{D(\mathbb{R})}[/texx].

Esto acota la búsqueda. El problema es que se descartan funciones que podrían verificar lo que se pide.

Hay un teorema que asegura que la composición conserva la continuidad. ¿Algún teorema que asegure que también conserva la derivabilidad?   

:¿eh?: :¿eh?: :¿eh?:

Saludos.

EDITO.
Ya me contesto yo. Si lo hay. La regla de la cadena. Las hipótesis del teorema (Derivación de una función compuesta o regla de la cadena) son:

   • [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]

   • [texx]g:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]

   • [texx]f(I)\subset{J}[/texx]

   • [texx]f[/texx]    derivable en    [texx]a\in{I}[/texx]   (En el ejercicio planteado se desconoce)

   • [texx]g[/texx]    derivable en    [texx]f(a).[/texx]

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« Respuesta #21 : 11/06/2018, 06:24:48 am »

Hola. No es molestia, hombre, el hilo me parece interesante.
Sí, la composición de funciones continuas es continua, y la de funciones derivables es derivable.
Una cosa:
Cuando analices g(y) ten en cuenta que y'=1, ya que [texx]y[/texx] es la variable.
Saludos.
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« Respuesta #22 : 11/06/2018, 06:30:13 am »


El argumento que yo utilizaría para demostrar que f(x) es continua es que:

[texx]   2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x=0\Longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}=0\Longrightarrow{}2(    \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^3-3(\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^2+6\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}-x_0=0[/texx]


Insisto. No sabemos con las hipótesis del enunciado si existe    [texx]\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}[/texx]

Para poder derivar y aplicar las propiedades de la derivada se ha de saber si    [texx]f[/texx]    es derivable. Esto sólo podemos suponerlo. O bien suponer lo contrario y llegar a un absurdo. Lo que si probaría su derivabilidad.

Saludos.
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« Respuesta #23 : 11/06/2018, 06:32:12 am »

Hola. No es molestia, hombre, el hilo me parece interesante.
Sí, la composición de funciones continuas es continua, y la de funciones derivables es derivable.
Una cosa:
Cuando analices g(y) ten en cuenta que y'=1, ya que [texx]y[/texx] es la variable.
Saludos.

En este caso concreto    [texx]y[/texx]    es una función de la variable    [texx]x[/texx].    No tiene por que ser uno. ¿No?
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« Respuesta #24 : 11/06/2018, 06:47:38 am »

Te propongo lo siguiente:
Una vez que hayas entendido las propiedades de g(y) como función de la variable [texx]y[/texx], nos pondremos con las propiedades de f(x) como función de x.
Saludos
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« Respuesta #25 : 11/06/2018, 06:54:17 am »

Te propongo lo siguiente:
Una vez que hayas entendido las propiedades de g(y) como función de la variable [texx]y[/texx], nos pondremos con las propiedades de f(x) como función de x.
Saludos

Vale, yo te propongo para ello lo siguiente:

definir en primer lugar    [texx]g(y)[/texx] en función de    [texx]y[/texx]    sin ambigüedades.

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martiniano
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« Respuesta #26 : 11/06/2018, 07:12:59 am »

Ok.
[texx]g(y) =2y^3-3y^2+6y-x[/texx] con x un número real dado.
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« Respuesta #27 : 11/06/2018, 07:26:34 am »

Ok.
[texx]g(y) =2y^3-3y^2+6y-x[/texx] con x un número real dado.

Prefiero esta definición:

[texx]g:\mathbb{R}\longrightarrow{}\mathbb{R}[/texx]    dada por    [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-b[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx],    [texx]\big(b\in{\mathbb{R}}\big)[/texx].

¿Puede ser?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #28 : 11/06/2018, 07:43:35 am »

Hola

Prefiero esta definición:

[texx]g:\mathbb{R}\longrightarrow{}\mathbb{R}[/texx]    dada por    [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-b[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx],    [texx]\big(b\in{\mathbb{R}}\big)[/texx].

Si te gusta más.. pero es lo mismo que puso martiniano cambiando el nombre de [texx]x[/texx] por [texx]b[/texx]. Lo que tiene que quedar claro es que la variable es [texx]y[/texx]. El valor de [texx]x[/texx] ó [texx]b[/texx] es fijo; dicho de otra manera para cada valor de  [texx]x[/texx] ó [texx]b[/texx] tienes una función diferente.

Saludos.
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martiniano
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« Respuesta #29 : 11/06/2018, 08:20:58 am »

Bien, estoy de acuerdo con Luis.

Debes ver que la función g(y) se anula exactamente una vez valga lo que valga x (o, si prefieres b, da lo mismo).

Ánimo que ya lo tienes  :guiño:
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« Respuesta #30 : 11/06/2018, 11:02:13 am »

Lo siguiente entonces, las propiedades de    [texx]g[/texx].    Se puede considerar    [texx]b[/texx]    como una función constante.

   • Es continua en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    por ser sumas, restas, productos de la función identidad y composición de funciones continuas.

   • Es derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    por lo mismo sobre derivabilidad de sumas productos, restas de la función identidad y composición de funciones derivables.

   • No está acotada puesto que    [texx]\displaystyle\lim_{y \to{\pm{}}\infty}{g(y)}=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\;x^3\cdot{\big(2-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{6}{x^2}\big)+b}}=2\cdot{(\pm{}\infty)}+b=\pm{\infty}[/texx].

   • Tanto su dominio como su imagen son el intervalo    [texx](-\infty,+\infty)[/texx].

   • Puesto que toma valores positivos y negativos en dicho intervalo, Bolzano asegura que se anula al menos una vez.

Lo siguiente, calcular su derivada y estudiar sus propiedades.    [texx]g'(y)=6y^2-6y^2+6[/texx].

   • La ecuación    [texx]y^2-y+1=0[/texx]    no tiene soluciones reales así que el teorema de Rolle asegura que    [texx]g[/texx]    no tiene extremos relativos.

   • [texx]y^2-y+1>0[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx]    ya que    [texx]1^2-1+1=1>0[/texx],    luego    [texx]g[/texx]    es estrictamente creciente y por lo tanto biyectiva.

   • Por ser    [texx]g[/texx]    biyectiva y tomar valores positivos y negativos se anula exactamente una vez.

   • Por lo mismo tiene inversa derivable siendo su expresión    [texx]\big(g^{-1}\big)'(x)=\displaystyle\frac{1}{g'\big(g^{-1}(x)\big)}[/texx]

Estas propiedades son comunes a cada una de las funciones así definidas para cada    [texx]b\in{\mathbb{R}}[/texx],    y a sus derivadas también.

No se si se me ha olvidado algo.

Saludos.

   
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« Respuesta #31 : 11/06/2018, 11:16:40 am »

¡Bien! nos sirve.

Entonces decir que g(y) se anula exactamente una vez para cada valor de b es lo mismo que decir que la solución de la siguente ecuación (en [texx]y[/texx]) siempre existe y es única para cada valor de b.

[texx]2y^3-3y^2+6y-b=0[/texx]

¿Estás de acuerdo? Saludos.
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« Respuesta #32 : 11/06/2018, 11:42:55 am »

¡Bien! nos sirve.

Entonces decir que g(y) se anula exactamente una vez para cada valor de b es lo mismo que decir que la solución de la siguente ecuación (en [texx]y[/texx]) siempre existe y es única para cada valor de b.

[texx]2y^3-3y^2+6y-b=0[/texx]

¿Estás de acuerdo? Saludos.

Sip
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« Respuesta #33 : 11/06/2018, 11:45:57 am »

Pues substituye la [texx]b[/texx] por una [texx]x[/texx] y la [texx]y[/texx] por [texx]f(x)[/texx], tendrás que el valor de [texx]f(x)[/texx] siempre existe y es único para cada valor de [texx]x[/texx], que es lo mismo que decir que [texx]f(x)[/texx] está bien definida para todos los números reales y es única. Esto contesta a la primera pregunta de tu enunciado.

¿Estás conmigo?
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« Respuesta #34 : 11/06/2018, 12:14:33 pm »

Pues substituye la [texx]b[/texx] por una [texx]x[/texx] y la [texx]y[/texx] por [texx]f(x)[/texx], tendrás que el valor de [texx]f(x)[/texx] siempre existe y es único para cada valor de [texx]x[/texx], que es lo mismo que decir que [texx]f(x)[/texx] está bien definida para todos los números reales y es única. Esto contesta a la primera pregunta de tu enunciado.

¿Estás conmigo?

No del todo. Para empezar:

sea    [texx]y_b[/texx]    la solución de la ecuación    [texx]2y^3-3y^2+6y-b=0[/texx].    ¿En base a que se ha de verificar la igualdad    [texx]y_b=b[/texx]?

Es decir, sustituyendo como dices, ¿cómo probar que la solución de la ecuación    [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)-x_0=0[/texx]    es precisamente    [texx]f(x_0)[/texx].    Lo que se puede asegura en cualquier caso a la vista de las propiedades deducidas, es que será algún    [texx]f(x_j)[/texx]    con    [texx]j\in{\mathbb{N}}[/texx].

Además se han de imponer ciertas condiciones a    [texx]f[/texx]    para poder hacer la sustitución,    como mínimo    [texx]f[/texx]   debe ser derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx],    porque otra vez volvemos a lo mismo, si    [texx]f[/texx]    es, por ejemplo, la función de Dirichlet, todas las propiedades de    [texx]g[/texx]    obtenidas ya no lo son.

Saludos.
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« Respuesta #35 : 11/06/2018, 12:59:40 pm »

Lástima.
Substituir [texx]y [/texx] por una función de x no afecta a las propiedades de g(y) respecto a y. Es verdad que se obtiene una función de x que no tiene por qué ser continua, pero eso no afecta los resultados anteriores.
Además, si substituyes y por f(x) lo que obtienes es la función nula.
Saludos
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« Respuesta #36 : 11/06/2018, 01:51:12 pm »

Lástima.
Substituir [texx]y [/texx] por una función de x no afecta a las propiedades de g(y) respecto a y. Es verdad que se obtiene una función de x que no tiene por qué ser continua, pero eso no afecta los resultados anteriores.

A los resultado en lo que se refiere a la función    [texx]g[/texx]    función de    [texx]y[/texx]    real no. Pero a los resultados en lo que se refiere a la función    [texx]g[/texx]    función de una función cualquiera     [texx]f[/texx]    a su vez función de     [texx]x[/texx]    real si.

Además, si substituyes y por f(x) lo que obtienes es la función nula.
Saludos

Ahá, gracias. Sólo la función    [texx]f(x)=0[/texx]    para     [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx],    continua y derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx],    verifica la ecuación para cualquier    [texx]b\in{\mathbb{R}}[/texx].    Esto es lo que tenía que haber deducido yo.

 
:cara_de_queso:

Mereció la pena el hilo. Saludos y muchísimas gracias.
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« Respuesta #37 : 11/06/2018, 02:26:56 pm »

Hola Buscón.
Lamento ser aguafiestas, pero la solución no es f(x) = 0.
No te piden que halles f(x)
Saludos :indeciso:
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« Respuesta #38 : 11/06/2018, 02:36:59 pm »

Hola Buscón.
Lamento ser aguafiestas, pero la solución no es f(x) = 0.
No te piden que halles f(x)
Saludos :indeciso:

:enojado:

Es cierto,    [texx]2\cdot{0}-3\cdot{0}+6\cdot{0}=0[/texx],    sólo funciona para    [texx]b=0[/texx].
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« Respuesta #39 : 11/06/2018, 07:28:02 pm »

¿Es posible que    [texx]f'(0)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{6}}[/texx]?

Saludos, gracias.
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