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Autor Tema: Límite valor absoluto  (Leído 1213 veces)
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argonauta
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« : 01/07/2018, 09:52:43 pm »

Hola:

¿Cómo están?   Ojalá bien.

Quisiera hacer la siguiente pregunta:

¿Si [texx]a_n[/texx] es una sucesión y  [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{|a_n|}=+\infty[/texx], hay alguna forma de demostrar que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}\neq{0}[/texx]  ?

Gracias

Saludos.
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delmar
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« Respuesta #1 : 01/07/2018, 10:36:12 pm »

Hola

Hazlo por reducción al absurdo. Se supone que [texx]\exists{ \ a_n}[/texx] sucesión,  tal que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{a_n}\right |}=\infty[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}=0[/texx]. Esta última aserción, por definición de límite de una sucesión, implica :

[texx]\forall{\epsilon>0},  \ \exists{N}\in{Z^+} \ / \ \left |{a_n-0}\right |<\epsilon, \ si \ n\geq{N}[/texx] ; pero :

[texx]\left |{a_n-0}\right |=\left |{a_n}\right |=\left |{\left |{a_n}\right |}\right |=\left |{\left |{a_n}\right |}-0\right |[/texx] Ec. 1

Utilizando la Ec. 1 en la definición de límite se llega a :

[texx]\forall{\epsilon>0},  \ \exists{N}\in{Z^+} \ / \ \left |{\left |{a_n}\right |}-0\right |<\epsilon, \ si \ n\geq{N}[/texx]

Esto significa que : [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{a_n}\right |}=0[/texx], esto contradice a la hipótesis de que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{a_n}\right |}=\infty[/texx]

Saludos

Nota : Trata de mostrar lo que has hecho por el problema, aún cuando solamente tengas ideas y te hallas dado cuenta que no conducen a la solución
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argonauta
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« Respuesta #2 : 01/07/2018, 11:57:59 pm »

Hola delmar:   gracias por tu respuesta.

Voy a escribir lo que había pensado, pero como soy nuevo en estos temas prefiero ver si lo aprueban.

Si [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{|a_n|}=0[/texx], entonces [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}=0[/texx].

Prueba:  como [texx]-|a_n|\leq{a_n\leq{|a_n|}}[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{|a_n|=0}[/texx], entonces [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{-|a_n|=0}[/texx] también. Por teorema del sandwich [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}=0[/texx].

Por otro lado, si [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}=0[/texx], entonces, apoyándome en tu idea,

[texx]\forall{\varepsilon}[/texx]   [texx]\exists{N}[/texx]

[texx]\forall{n>N}[/texx]      [texx]|a_n-0|<\varepsilon[/texx],   pero

[texx]\forall{n>N}[/texx]      [texx]||a_n|-|0||\leq{|a_n-0|<\varepsilon}[/texx]  por desigualdad del triangulo inversa. Por lo tanto también

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{|a_n|}=0[/texx]


Entonces tengo que si se cumple una, obligadamente se cumple la otra y viceversa. Por lo tanto si [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{|a_n|}=+\infty[/texx], [texx]a_n[/texx] no puede converger a [texx]0[/texx].


Muchas gracias y atento a cualquier comentario.

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delmar
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« Respuesta #3 : 02/07/2018, 12:36:45 am »

Es correcto lo que has hecho. En esencia has demostrado :

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{a_n}\right |}=0\Leftrightarrow{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}}=0[/texx]

Es decir : que el límite de la izquierda se cumple si y solo si se cumple el límite de la derecha. Esto es suficiente para decir :

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left |{a_n}\right |}=+\infty\Rightarrow{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{a_n}\neq{0}}[/texx]

Saludos
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #4 : 02/07/2018, 07:28:10 am »

También se puede ver que si [texx]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} |a_n| = +\infty [/texx] entonces para todo [texx]A \in \mathbb{R}^+ [/texx] existe [texx]n_A \in \mathbb{N} [/texx] tal que si [texx]n\geq n_A [/texx] entonces [texx]|a_n| > A [/texx] para [texx] A = 1 [/texx] tenemos [texx]|a_n| > 1 [/texx]
Si [texx] a_n > 0 [/texx] entonces [texx]a_n > 1 [/texx], si a_n < 0 [/tex] tenemos [texx] -a_n > 1[/texx]
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Buscón
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« Respuesta #5 : 02/07/2018, 09:06:20 am »

Mi aporte.

Se me ocurre, para simplificar, reducir al absurdo usando las definiciones de divergencia y convergencia.

Para que    [texx]|a_n|\rightarrow{+\infty}[/texx]    y a su vez    [texx]a_n\rightarrow{0}[/texx]    se deberá verificar

[texx]\left.\begin{matrix}\forall\,{E>0}.\;\exists{\,n_1\in{\mathbb{N}}}:\;n\geq{n_1}&\Rightarrow&{|a_n|>E}\\\\
\forall\,{\epsilon>0}.\;\exists{\,n_2\in{\mathbb{N}}}:\;n\geq{n_2}&\Rightarrow&{|a_n-0|=|a_n|<\epsilon}
\end{matrix}\right\}[/texx].

Basta tomar    [texx]E=\epsilon[/texx]    y    [texx]max\{n_1,n_2\}[/texx]    para el absurdo.


Espero que sirva. Saludos.
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argonauta
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« Respuesta #6 : 02/07/2018, 01:35:49 pm »

Hola:

Quisiera agradecer las respuestas de delmar, buscón y Juan Pablo.

Las demostraciones por reducción al absurdo ahora las entiendo bien me han quedado bastante claras.

Con respecto a la respuesta de Juan Pablo, para [texx]A=1[/texx] existe un [texx]N[/texx], tal que si [texx]n>N[/texx], [texx]|a_n|>1[/texx]

Pero esto último se contradice que [texx]a_n[/texx] sea tan cercano a [texx]0[/texx] como desee, haciendo que [texx]n [/texx] sea arbitrariamente tan grande como yo quiera.


Muchas gracias.

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