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Autor Tema: Probar \(\;\;f\;\) única si \(\;\;2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\).  (Leído 10336 veces)
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« : 09/06/2018, 04:13:01 am »


Probar que existe una única función    [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    verificando que

[texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\;\;\;\;\;\;\forall{\,x\in{\mathbb{R}}}[/texx].

Probar también que    [texx]f[/texx]    es derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    y calcular    [texx]f'(0)[/texx].

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martiniano
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« Respuesta #1 : 09/06/2018, 04:55:31 am »

Hola.

Lo que te están pidiendo es equivalente a demostrar que la siguiente ecuación en [texx]y[/texx] tiene una, y sólo una, solución para cualquier valor de [texx]x[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x=0[/texx]

Yo lo que haría es asociar esta ecuación a la siguiente función, que es continua y derivable:

[texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx]

Y como la derivada de esta función no se anula nunca, entonces por el teorema de Rolle no puede tomar dos veces el mismo valor y por tanto no se puede anular dos veces. Pero como su grado es impar, siempre se anulará al menos una vez. Y ya tendrías la primera respuesta.

Para calcular f'(0) debes hallar primero f(0) resolviendo la siguiente ecuación:

[texx]2f(0)^3-3f(0)^2+6f(0)=0[/texx] [texx]\Rightarrow{f(0)=0}[/texx]

Y aplicar derivación implícita.

Espero que te sirva, saludos.
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« Respuesta #2 : 09/06/2018, 05:35:21 am »

Hola.

Lo que te están pidiendo es equivalente a demostrar que la siguiente ecuación en [texx]y[/texx] tiene una, y sólo una, solución para cualquier valor de [texx]x[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x=0[/texx]

Yo lo que haría es asociar esta ecuación a la siguiente función, que es continua y derivable:

[texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx]

Gracias.

No necesariamente, por ejemplo    [texx]f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\;\;\textrm{si}\;\;x\neq{0};\;\;\;f(0)=b\in{\mathbb{R}}[/texx],    con lo que    [texx]g[/texx]    no sería continua y por lo tanto tampoco derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx],    y    [texx]f[/texx]    tampoco.   

No tiene sentido calcular    [texx]f'(0)[/texx]    si no se sabe si    [texx]f[/texx]    es o no es derivable en    [texx]0[/texx].    Y menos si se desconoce también su expresión. ¿No?

Es de suponer que la cosa va por aquí


Sea    [texx]f:I\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    derivable en el intervalo    [texx]I[/texx]    con derivada    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]    para todo    [texx]x\in{I}[/texx].    Entonces    [texx]f[/texx]    es una biyección de    [texx]I[/texx]    sobre el intervalo    [texx]J=f(I)[/texx],     y la función inversa    [texx]f^{-1}:J\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    es derivable en     [texx]J[/texx]    siendo

[texx]\big(f^{-1}\big)'(y)=\displaystyle\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}[/texx]       [texx](y\in{J})[/texx].


Haciendo    [texx]f(x)=y[/texx],    será    [texx]f^{-1}(y)=x[/texx],    con lo que se obtiene

[texx]2y^3-3y^2+6y=f^{-1}(y)[/texx].

Saludos.

EDITO.

Falta saber si    [texx]f[/texx]    es derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    y si    [texx]f'(x)\neq{0}[/texx]     para todo    [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx].    No veo como.
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« Respuesta #3 : 09/06/2018, 08:25:24 am »

Hola Buscón, lamento no haber podido exponer antes por qué la función f(x) era continua y derivable, pero tenía que atender otras tareas.

El argumento que yo utilizaría para demostrar que f(x) es continua es que:

[texx]   2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x=0\Longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}=0\Longrightarrow{}2(    \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^3-3(\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^2+6\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}-x_0=0[/texx]

Y como la siguiente ecuación, en [texx]y[/texx], sólo tiene una solución y esta es [texx]f(x_0)[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x_0[/texx][texx]=0 [/texx]

Tiene que ser:

[texx]f(x_0)= \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}[/texx] [texx]\forall{x_0}\in{\mathbb{R}}[/texx]

Y por tanto [texx]f(x)[/texx] es continua en [texx]\mathbb{R}[/texx]. Ahora con la derivación implícita se llega a que:

[texx]f'(x)=\displaystyle\frac{1}{6(f(x))^2-6f(x)+6}[/texx]

Como es una división de funciones continuas y el denominador no se anula nunca, f(x) tiene derivada continua y por tanto es también derivable.

Por cierto, no sé si has dudado con esto, pero la función g(y) que he definido en el comentario anterior es continua y derivable por ser un polinomio.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 09/06/2018, 02:18:45 pm »

Hola Buscón, lamento no haber podido exponer antes por qué la función f(x) era continua y derivable, pero tenía que atender otras tareas.

El argumento que yo utilizaría para demostrar que f(x) es continua es que:

[texx]   2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x=0\Longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}=0\Longrightarrow{}2(    \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^3-3(\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^2+6\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}-x_0=0[/texx]

Pues la misma objeción, al suponer por ejemplo    [texx]f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}\;\;\textrm{si}\;\;x\neq{0};\;\;\;f(0)=b\in{\mathbb{R}}[/texx]    resulta que para    [texx]x_0=0[/texx]   

\begin{align*}\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}&=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\left[2\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^3-3\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^2+\displaystyle\frac{6}{x}-0\right]}=\\\\
&=\displaystyle\frac{2}{b^3}-\displaystyle\frac{3}{b^2}+\displaystyle\frac{6}{b}\neq{f(0)}=b,\end{align*}

la función    [texx]f\not\in{D(\mathbb{R})}[/texx],    no es continua en    [texx]\mathbb{R}[/texx]    y por lo tanto no es derivable en    [texx]\mathbb{R}[/texx].

Saludos gracias.
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« Respuesta #5 : 09/06/2018, 02:37:52 pm »

Por cierto, no sé si has dudado con esto, pero la función g(y) que he definido en el comentario anterior es continua y derivable por ser un polinomio.

Pero si    [texx]y=f(x)[/texx]    y    [texx]f(x)[/texx]    es una función definida por partes, entonces    [texx]g(y)[/texx]    ya no es un polinomio. ¿O si?

Saludos.
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« Respuesta #6 : 09/06/2018, 05:17:40 pm »

Lo siento, no consigo verlo.

...
Y como la siguiente ecuación, en [texx]y[/texx], sólo tiene una solución y esta es [texx]f(x_0)[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x_0\color{red}=0[/texx]

¿Cómo sabes que tiene solución única? Muchas gracias.

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« Respuesta #7 : 09/06/2018, 06:14:06 pm »

Vale, creo empezar a entenderlo.

Por hipótesis,    [texx]\forall{\,x\in{\mathbb{R}}}[/texx],    se verifica    [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\;[/texx],    entonces en particular se verifica    [texx]2\big(f(0)\big)^3-3\big(f(0)\big)^2+6f(0)=0[/texx].

Sacando factor común

[texx]f(0)\cdot{\left(2\big(f(0)\big)^2-3f(0)+6\right)}=0[/texx],

lo que implica

[texx]f(0)=0\;\;\;\vee\;\;\;2\big(f(0)\big)^2-3f(0)+6=0[/texx].

La segunda ecuación tiene por soluciones

[texx]f(0)_{1,2}=\displaystyle\frac{3\pm{\sqrt[ ]{9-48}}}{4}\not\in{\mathbb{R}}[/texx],

con lo que es posible deducir que la ecuación planteada tiene solución única y además la función pedida se anula en    [texx]x=0[/texx].

El razonamiento de momento es que puede haber infinitas funciones compatibles con esas deducciones. Y no necesariamente deben ser continuas.

continuará...

Saludos.

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« Respuesta #8 : 09/06/2018, 07:09:32 pm »

Hola Buscón. Me alegro de que te veas avanzando   :guiño:.

Lo siento, no consigo verlo.

...
Y como la siguiente ecuación, en [texx]y[/texx], sólo tiene una solución y esta es [texx]f(x_0)[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x_0\color{red}=0[/texx]

¿Cómo sabes que tiene solución única? Muchas gracias.



Mi intención era, primero, demostrar que [texx]f(x)[/texx] es única y está bien definida. Para eso demuestro que la ecuación [texx]0=2y^3-3y^2+6y-x[/texx], de tercer grado en y, tiene exactamente una sola solución para cada [texx]x[/texx]. Y eso lo he hecho aquí:

Yo lo que haría es asociar esta ecuación a la siguiente función, que es continua y derivable:

[texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx]

Y como la derivada de esta función no se anula nunca, entonces por el teorema de Rolle no puede tomar dos veces el mismo valor y por tanto no se puede anular dos veces. Pero como su grado es impar, siempre se anulará al menos una vez. Y ya tendrías la primera respuesta.


Es prioritario que entiendas esto antes de nada, porque el resto de la demostración se basa bastante en este punto.

Después de esto con lo siguiente se demuestra que la función es continua en todos los puntos en los que está definida, es decir, en todo [texx] \mathbb{R}[/texx]

[texx]   2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x=0\Longrightarrow{} \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}=0\Longrightarrow{}2(    \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^3-3(\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)})^2+6\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}-x_0=0[/texx]

Y como la siguiente ecuación, en [texx]y[/texx], sólo tiene una solución y esta es [texx]f(x_0)[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x_0[/texx]

Tiene que ser:

[texx]f(x_0)= \displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{f(x)}[/texx] [texx]\forall{x_0}\in{\mathbb{R}}[/texx]

Y después se halla una expresión para la derivada.

No entiendo bien el contraejemplo que has propuesto. Además, has cometido un error al pasar de la segunda expresión a la tercera, no son iguales:

\begin{align*}\displaystyle\lim_{x \to{x_0}}{\left[2(f(x))^3-3(f(x))^2+6f(x)-x\right]}&=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\left[2\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^3-3\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^2+\displaystyle\frac{6}{x}-0\right]}=\\\\
&=\displaystyle\frac{2}{b^3}-\displaystyle\frac{3}{b^2}+\displaystyle\frac{6}{b}\neq{f(0)}=b,\end{align*}



Pero si    [texx]y=f(x)[/texx]    y    [texx]f(x)[/texx]    es una función definida por partes, entonces    [texx]g(y)[/texx]    ya no es un polinomio. ¿O si?

[texx]g(y)[/texx] tal y como está definida es un polinomio en [texx]y[/texx]. Lo que hago es analizar primero esta función para luego analizar [texx]f(x)[/texx]. Si en g(y) substituyes [texx]y=f(x)[/texx] lo que obtienes es un 0 redondo.

Espero haberte aclarado algo. Saludos.
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« Respuesta #9 : 10/06/2018, 06:23:13 am »

Hola Buscón. Me alegro de que te veas avanzando   :guiño:.

Lo siento, no consigo verlo.

...
Y como la siguiente ecuación, en [texx]y[/texx], sólo tiene una solución y esta es [texx]f(x_0)[/texx]:

[texx]2y^3-3y^2+6y-x_0\color{red}=0[/texx]

¿Cómo sabes que tiene solución única? Muchas gracias.



Mi intención era, primero, demostrar que [texx]f(x)[/texx] es única y está bien definida. Para eso demuestro que la ecuación [texx]0=2y^3-3y^2+6y-x[/texx], de tercer grado en y, tiene exactamente una sola solución para cada [texx]x[/texx]. Y eso lo he hecho aquí:

Yo lo que haría es asociar esta ecuación a la siguiente función, que es continua y derivable:

[texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx]

Y como la derivada de esta función no se anula nunca, entonces por el teorema de Rolle no puede tomar dos veces el mismo valor y por tanto no se puede anular dos veces. Pero como su grado es impar, siempre se anulará al menos una vez. Y ya tendrías la primera respuesta.


Es prioritario que entiendas esto antes de nada, porque el resto de la demostración se basa bastante en este punto.

Pues es justo lo que no consigo ver. No veo como deduces que la función ha de ser única a partir de que la ecuación    [texx]2y^3-3y^2+6y-x=0[/texx]    tiene solución única para cada    [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx].   

Tampoco me queda claro como deduces esto último.

Lo siento. Saludos.
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« Respuesta #10 : 10/06/2018, 06:40:03 am »

Vale, claro. ¿Conoces el teorema de Rolle?
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« Respuesta #11 : 10/06/2018, 07:22:20 am »

Es fácil probar que la ecuación    [texx]2x^3-3x^2+6x=0\Longleftrightarrow{x\cdot{\left(2x^2-3x+6\right)}=0}[/texx]    tiene como única solución    [texx]x=0[/texx].

Al ser    [texx](-3)^2<4\cdot{2}\cdot{6}[/texx],    la ecuación    [texx]2x^2-3x+6=0[/texx]    no tiene soluciones reales.

Esto prueba que la función    [texx]f(x)=2x^3-3x^2+6x[/texx]    sólo se anula una vez en    [texx]x=0[/texx].

Como    [texx]\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\;\left(2x^3-3x^2+6x\right)}=\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\;x^3\cdot{}\left(2-\displaystyle\frac{3}{x}+\displaystyle\frac{6}{x^2}\right)}=2\cdot{\displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}\infty}{\;x^3}}=\pm{\infty}[/texx]

Lo siguiente será probar que tambíen la función    [texx]g(x)=f(x)+c[/texx]    tiene el mismo comportamiento que    [texx]f[/texx]    para todo  [texx]c\in{\mathbb{R}}[/texx].   ¿No?

Para    [texx]c=0[/texx]    es trivial.

Un saludo.
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« Respuesta #12 : 10/06/2018, 07:55:28 am »

Vale, claro. ¿Conoces el teorema de Rolle?

Teorema de Rolle.

Sea    [texx]f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    una función continua en    [texx][a,b][/texx],    derivable en    [texx](a,b)[/texx]    y verificando que    [texx]f(a)=f(b)[/texx].
Entonces existe algún    [texx]c\in{(a,b)}[/texx]   tal que    [texx]f'(c)=0[/texx].



Se demuestra tomando como base el teorema de Weierstrass que asegura que una función continua en un cerrado está acotada y por lo tanto alcanza un máximo y un mínimo absoluto. Por ser derivable la función en éllos por hipótesis, el teorema de Fermat, asegura que sus derivadas son cero.

Esto no prueba que la ecuación en    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx]    objeto de estudio, no puede alcanzar ni un máximo ni un mínimo, de hecho al estar definida en un abierto ya no verifica las condiciones para poder aplicar el teorema de Rolle.

Es continua y derivable, por ser una función polinómica. Toma valores negativos y positivos, lo que prueba, (por Bolzano), que se anula al menos una vez. Se debería probar que es monótona estricta para poder asegurar que sólo lo hace una vez.   

Saludos.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #13 : 10/06/2018, 08:00:08 am »

Probar que existe una única función    [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] verificando que [texx]2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)=x\;\;\;\;\;\;\forall{\,x\in{\mathbb{R}}}[/texx]. Probar también que    [texx]f[/texx]    es derivable en [texx]\mathbb{R}[/texx] y calcular [texx]f'(0)[/texx].

Me introduzco de manera "cobarde"  en el hilo para hacer una consideración y una pregunta.

Consideración. Amén de lo expresado por martiniano la unicidad de [texx]f[/texx] se puede demostrar en la misma forma que la expresada en el hilo que abriste: Determinar soluciones reales de \(3x^5+5x^3-30x=\alpha\).

Pregunta. ¿Cual es el contexto del problema? Me explico, ¿habéis dado algún teorema sobre propiedades de funciones definidas de manera impícita?
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« Respuesta #14 : 10/06/2018, 08:06:10 am »

Pregunta. ¿Cual es el contexto del problema? Me explico, ¿habéis dado algún teorema sobre propiedades de funciones definidas de manera impícita?

No. El contexto es el Teorema del Valor Medio y sus consecuencias: Monotonía, monotonía estricta, Teorema de la función inversa, Propiedades de la derivada...

Saludos.
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« Respuesta #15 : 10/06/2018, 08:43:42 am »

Yo diría que el procedimiento para resolver el ejercicio es aplicar el teorema del valor medio y sus consecuencias a la función    [texx]g:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    dada por    [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y[/texx]    para todo    [texx]y\in{\mathbb{R}}[/texx]    lo que permite obtener sus propiedades.

A partir de aquí, estudiar las propiedades de la función    [texx]g(y)-x[/texx]    para todo    [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx]     y luego estudiar que ocurre con    [texx]g\big(f(x)\big)-x[/texx].    Es decir, estudiar la unicidad y que propiedades debe tener la función    [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    para que verifique la ecuación     [texx]g\big(f(x)\big)-x=0[/texx]    para todo    [texx]x\in{\mathbb{R}}[/texx].

No consigo hilar. 

Saludos y gracias.

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« Respuesta #16 : 10/06/2018, 02:26:11 pm »

Hola Buscón.

Ya que parece que el teorema de Rolle lo tienes claro, yo te recomiendo que prestes atención al siguiente razonamiento:

Si la función [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx] tomase dos veces el valor cero, para valores distintos de [texx]y[/texx]. Supón [texx]g(a)=g(b)=0[/texx] entonces, por el teorema de Rolle habría un [texx]c\in{}(a,b)[/texx] tal que [texx]g'(c)=0[/texx].

Como [texx]g'(y)[/texx] no se anula nunca, entonces [texx]g(y)[/texx] no puede tomar el valor cero para dos valores distintos de [texx]y[/texx].

Yo creo que si entiendes esto habremos dado un paso muy importante en la resolución del ejercicio. ¿Qué opinas?

Saludos.
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« Respuesta #17 : 10/06/2018, 07:53:46 pm »

Hola Buscón.

Ya que parece que el teorema de Rolle lo tienes claro, yo te recomiendo que prestes atención al siguiente razonamiento:

Si la función [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx] tomase dos veces el valor cero, para valores distintos de [texx]y[/texx]. Supón [texx]g(a)=g(b)=0[/texx] entonces, por el teorema de Rolle habría un [texx]c\in{}(a,b)[/texx] tal que [texx]g'(c)=0[/texx].

Como [texx]g'(y)[/texx] no se anula nunca, entonces [texx]g(y)[/texx] no puede tomar el valor cero para dos valores distintos de [texx]y[/texx].

Yo creo que si entiendes esto habremos dado un paso muy importante en la resolución del ejercicio. ¿Qué opinas?

Saludos.

Que no lo entiendo, sin calcular    [texx]g'(y)[/texx]    y sin una demostración de que no se anula nunca. Gracias.
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« Respuesta #18 : 11/06/2018, 03:48:25 am »

Hola Buscón.

Ya que parece que el teorema de Rolle lo tienes claro, yo te recomiendo que prestes atención al siguiente razonamiento:

Si la función [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx] tomase dos veces el valor cero, para valores distintos de [texx]y[/texx]. Supón [texx]g(a)=g(b)=0[/texx] entonces, por el teorema de Rolle habría un [texx]c\in{}(a,b)[/texx] tal que [texx]g'(c)=0[/texx].

Como [texx]g'(y)[/texx] no se anula nunca, entonces [texx]g(y)[/texx] no puede tomar el valor cero para dos valores distintos de [texx]y[/texx].

Yo creo que si entiendes esto habremos dado un paso muy importante en la resolución del ejercicio. ¿Qué opinas?

Saludos.

Que no lo entiendo, sin calcular    [texx]g'(y)[/texx]    y sin una demostración de que no se anula nunca. Gracias.

Buenas.

[texx]g'(y)=6y^2-6y+6[/texx]

Si aplicas a este polinomio la fórmula para ecuaciones de segundo grado verás que no tiene raíces reales.

A ver si ahora sí. Saludos.
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« Respuesta #19 : 11/06/2018, 05:07:30 am »

Hola Buscón.

Ya que parece que el teorema de Rolle lo tienes claro, yo te recomiendo que prestes atención al siguiente razonamiento:

Si la función [texx]g(y)=2y^3-3y^2+6y-x[/texx] tomase dos veces el valor cero, para valores distintos de [texx]y[/texx]. Supón [texx]g(a)=g(b)=0[/texx] entonces, por el teorema de Rolle habría un [texx]c\in{}(a,b)[/texx] tal que [texx]g'(c)=0[/texx].

Como [texx]g'(y)[/texx] no se anula nunca, entonces [texx]g(y)[/texx] no puede tomar el valor cero para dos valores distintos de [texx]y[/texx].

Yo creo que si entiendes esto habremos dado un paso muy importante en la resolución del ejercicio. ¿Qué opinas?

Saludos.

Que no lo entiendo, sin calcular    [texx]g'(y)[/texx]    y sin una demostración de que no se anula nunca. Gracias.

Buenas.

[texx]g'(y)=6y^2-6y+6[/texx]

Si aplicas a este polinomio la fórmula para ecuaciones de segundo grado verás que no tiene raíces reales.

A ver si ahora sí. Saludos.

[texx]g'(y)=6y^2\cdot{}y'+6y\cdot{}y'+6[/texx],    el enunciado no dice quien es    [texx]y=f(x)[/texx],    sólo dice que es una función real, se podría tomar por ejemplo la función

[texx]f(x)=\begin{cases}1&\textrm{si}&x\in{\mathbb{Q}}\\\\-1&\textrm{si}&x\in{\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}},\end{cases}[/texx]

(la función de Dirichlet), que no es continua en ningún punto. No es obvio con este supuesto que      [texx]g(y)=(g\circ{f})(x)=g\big(f(x)\big)=2\big(f(x)\big)^3-3\big(f(x)\big)^2+6f(x)[/texx]    sea continua y derivable. De hecho, la intuición dice que no.

Es más, así, sin demostración, parece que la única función posible que verifica lo que pide el enunciado es la función identidad    [texx]f(x)=x[/texx].   

Saludos y gracias por las molestias.   
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