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Autor Tema: Variedad irreducible  (Leído 977 veces)
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conchivgr
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« : 25/06/2018, 06:07:52 am »

Hola. Lo he modificado para hacerlo más comprensible, creo que ahora si podéis ayudarme mejor.

Sea el ideal [texx]I=(x^2-yz,xz-x)[/texx].

El conjunto algebraico [texx]V(I)[/texx] correspondiente a este ideal se puede descomponer en componetes irreducibles de la siguiente forma:

[texx]V(I)=V(x^2-yz)\cap{V(x(z-1))}=V(x^2-yz)\cap{(V(x)\cup{V(z-1)})}=(V(x^2-yz)\cap{V(x)})\cup{(V(x^2-yz)\cap{V(z-1)})}=V(x,x^2-yz)\cup{V(z-1,x^2-yz)=V(x,y)\cup{V(x,z)\cup{V(z-1,x^2-yz)}}}[/texx]

Me gustaría hacer lo mismo con el ideal [texx]I=(xz-y^2,x^3-yz,x^2y-z^2)[/texx]

cuya solución es

[texx]V(x,y)\cup{V(xz-y^2x^3-yz,x^2y-z^2)}[/texx].

Pero ni siquiera se empezar al no tener variables en común. He intentado ir desde la solución hacia atrás, sin éxito

Besos.



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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 25/06/2018, 07:53:00 am »

Hola

Hola. Lo he modificado para hacerlo más comprensible, creo que ahora si podéis ayudarme mejor.

Sea el ideal [texx]I=(x^2-yz,xz-x)[/texx].

El conjunto algebraico [texx]V(I)[/texx] correspondiente a este ideal se puede descomponer en componetes irreducibles de la siguiente forma:

[texx]V(I)=V(x^2-yz)\cap{V(x(z-1))}=V(x^2-yz)\cap{(V(x)\cup{V(z-1)})}=(V(x^2-yz)\cap{V(x)})\cup{(V(x^2-yz)\cap{V(z-1)})}=V(x,x^2-yz)\cup{V(z-1,x^2-yz)=V(x,y)\cup{V(x,z)\cup{V(z-1,x^2-yz)}}}[/texx]

Me gustaría hacer lo mismo con el ideal [texx]I=(xz-y^2,x^3-yz,x^2y-z^2)[/texx]

cuya solución es

[texx]V(x,y)\cup{V(xz-y^2x^3-yz,x^2y-z^2)}[/texx].

Pero ni siquiera se empezar al no tener variables en común. He intentado ir desde la solución hacia atrás, sin éxito

Revisa el enunciado. El término [texx]V(x,y)[/texx] no cuadra. Si [texx]x=0[/texx], [texx]y=0[/texx] y [texx]z[/texx] es libre no está garantizado que se cumpla la tercera ecuación [texx]x^2y-z^2=0.[/texx]

Saludos.
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conchivgr
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« Respuesta #2 : 25/06/2018, 08:34:21 am »

Hola.

Tienes toda la razón, se coló esa condición. El ideal es: [texx]I=(xz-y^2,x^3-yz)[/texx]

La solución también es incorrecta, perdonad, falta una coma. Es:

[texx]V(x,y)\cup{V(xz-y^2,x^3-yz,x^2y-z^2)}[/texx]

Besos.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 26/06/2018, 08:56:00 am »

Hola

Tienes toda la razón, se coló esa condición. El ideal es: [texx]I=(xz-y^2,x^3-yz)[/texx]

La solución también es incorrecta, perdonad, falta una coma. Es:

[texx]V(x,y)\cup{V(xz-y^2,x^3-yz,x^2y-z^2)}[/texx]

No acabo de ver una forma natural de expresarlo en la forma final que dices.

Las ecuaciones son:

[texx]xz-y^2=0[/texx]
[texx]x^3-yz=0[/texx]

Es claro que si [texx]x=y=o[/texx] se cumplen ambas; eso justifica el factor [texx]V(x,y).[/texx]

En otro caso [texx]z=y^2/x=x^3/y.[/texx] Multiplicando [texx]z^2=yx^2[/texx] y eso justifica el otro factor [texx]V(xz-y^2,x^3-yz,x^2y-z^2)
[/texx]

Pero es una forma muy artificial de hacerlo.

Saludos.
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