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Autor Tema: Imagen inversa.  (Leído 993 veces)
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crisnodo
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« : 08/06/2018, 02:55:19 pm »

Hola.tengo un ejercicio que me pide calcular las imágenes inversas, alguien me puede echar una mano se lo agradecería.

Sea la variedad ([texx]\mathbb{R}^2,g[/texx]) donde [texx]\mathbb{R}^2[/texx] dotado de su orientación estandar y [texx]g[/texx] es la métrica [texx]g=dx\otimes{dx}+2xydx\otimes{dy}+2xy dy\otimes{dx} + (1+4x^{2}y^2)dy\otimes{dy}[/texx].
Sea la variedad [texx](Y,\bar{g})[/texx] donde [texx]Y[/texx] es de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] con su orientacion estandar y [texx]\bar{g}=dx\otimes{dx}+dy\otimes{dy}[/texx].
Si las coordenadas cartesianas sobre [texx]Y[/texx] las denotamos [texx](u,v)[/texx],entonces será [texx]\bar{g}=du\otimes{du}+dv\otimes{dv}[/texx]
Consideramos por último el difeomorfismo [texx] \phi:Y\longrightarrow{X}, \phi(u,v)=(u,u-v)[/texx]
Calcular las imágeness inversa de [texx] \phi^{*}g[/texx] y  [texx] \phi^{*}W_x[/texx]



Calculamos primero [texx] \phi^{*}W_x[/texx]
[texx]|g_{i,j}|=\begin{vmatrix} 1 & 2xy \\ 2xy & 1+4x^{2}y^2 \end{vmatrix}=1[/texx]
Y [texx]W_x =|g_{i,j}|^{1/2}dx∧dy = dx∧dy[/texx]
Luego,[texx]\phi^{*}(dx∧dy)=d(\phi^{*}(x)∧\phi^{*}(y)=dx∧dy[/texx]
pero  [texx] \phi^{*}g[/texx] no soy capaz de hallar su imagen inversa  :BangHead:

[texx]\phi^{*}g=\phi^{*}(dx\otimes{dx}+2xydx\otimes{dy}+2xy dy\otimes{dx} + (1+4x^{2}y^2)dy\otimes{dy})=\\
d(\phi^{*}(x)\otimes{\phi^{*}(x)}) +2xy d(\phi^{*}(x)\otimes{\phi^{*}(y)})+2xyd(\phi^{*}(y)\otimes{\phi^{*}(x)}) + (1+4x^{2}y^2)d(\phi^{*}(y)\otimes{\phi^{*}(y)})[/texx]

 
Ahora para calcularlo aplicando que [texx]\phi(u,v) =(u,u-v)[/texx] no sé cómo hacerlo para obtener la inversa de g
cualquier tipo de ayuda o indicación se agradecer.
Saludos.
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Gustavo
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« Respuesta #1 : 09/06/2018, 03:44:19 pm »

Hola,

Puedes mirar la página 39 de estas notas y seguimos discutiendo tu ejercicio:

http://pi.math.cornell.edu/~sjamaar/manifolds/manifold.pdf

Nota en particular cómo el pullback actúa sobre funciones.
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crisnodo
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« Respuesta #2 : 10/06/2018, 07:17:10 am »

Hola,

Puedes mirar la página 39 de estas notas y seguimos discutiendo tu ejercicio:

http://pi.math.cornell.edu/~sjamaar/manifolds/manifold.pdf

Nota en particular cómo el pullback actúa sobre funciones.
Muchas gracias Gustavo, me ha servido tu respuesta.
Saludos.
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