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Autor Tema: Resolución de límite indeterminado  (Leído 376 veces)
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omaroalandrade
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« : 07/06/2018, 09:40:36 am »

Saludos estimados usuarios del foro. Necesito su ayuda en la resolución paso a paso del límite adjunto:

[texx]\displaystyle\lim _{x\to 1}\left(\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[m]{x}-1}\right)[/texx]

Entiendo que el resultado es:

[texx]\displaystyle\frac{m}{n}[/texx]

 (Muy fácil por la regla de l'Hôpital)

Pero necesito el procedimiento por métodos algebraicos. Agradezco de antemano su ayuda.

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martiniano
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« Respuesta #1 : 07/06/2018, 11:57:30 am »

Hola buenas.

Aplica la regla de l'Hopital y ya lo tienes.

Un par de cosillas:
Estaría bien que le echases un ojo a las reglas del foro. Para introducir fórmulas se exige hacerlo en Latex. Se trata de un código que sirve para editar fórmulas matemáticas e introducirlas en un texto digital, es algo realmente útil, vale la pena mirarlo. Yo aprendí lo que era para poder expresarme correctamente en este foro en concreto, y la verdad es que está todo muy bien preparado para que resulte sencillo a los recién llegados.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=678.0

También se agradece que hagas que las imágenes sean siempre visibles en el texto para que quien vaya a ayudarte lo tenga fácil. Está explicado aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=3659.0

Saludos.
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Fernando Revilla
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« Respuesta #2 : 07/06/2018, 01:16:52 pm »

[texx]\displaystyle\lim _{x\to 1}\left(\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[m]{x}-1}\right)[/texx] (Muy fácil por la regla de l'Hôpital) Pero necesito el procedimiento por métodos algebraicos. Agradezco de antemano su ayuda.

Tenemos [texx]A^n-B^n=(A-B)(A^{n-1}+A^{n-2}B+\ldots +AB^{n-2}+B^{n-1})[/texx] lo cual implica que

          [texx]A-B=\displaystyle\frac{A^n-B^n}{A^{n-1}+A^{n-2}B+\ldots +AB^{n-2}+B^{n-1}}.[/texx]

Llamando [texx]A=\sqrt[ n]{x}[/texx] y [texx]B=1[/texx] obtenemos [texx]\sqrt[ n]{x}-1=\displaystyle\frac{x-1}{\sqrt[ n]{x^{n-1}}+\ldots +1}.[/texx]

Haciendo lo mismo con [texx]A=\sqrt[ m]{x}[/texx] y [texx]B=1[/texx] y simplificando el factor [texx]x-1[/texx] en numerador y denominador, desaparece la indeterminación, obteniéndose

          [texx]\displaystyle\lim _{x\to 1}\left(\frac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[m]{x}-1}\right)=\frac{m}{n}.[/texx]
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omaroalandrade
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« Respuesta #3 : 07/06/2018, 02:44:08 pm »

Disculpa pero como llego a la conclusión de que:

[texx]\displaystyle\lim _{x\to 1}\:\frac{\left(\sqrt[n]{x^{n-1}}+...\:1\right)}{\sqrt[m]{x^{m-1}}+...\:1}[/texx]

es igual a [texx]\displaystyle\frac{m}{n}[/texx]
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Fernando Revilla
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« Respuesta #4 : 07/06/2018, 03:09:17 pm »

Disculpa pero como llego a la conclusión de que: [texx]\displaystyle\lim _{x\to 1}\:\frac{\left(\sqrt[n]{x^{n-1}}+...\:1\right)}{\sqrt[m]{x^{m-1}}+...\:1}[/texx] es igual a [texx]\displaystyle\frac{m}{n}[/texx]

Revisa. Al simplificar [texx]x-1[/texx] te queda al revés de lo que has puesto,

          [texx]\displaystyle\lim _{x\to 1}\:\frac{\sqrt[m]{x^{m-1}}+\ldots +1}{\sqrt[n]{x^{n-1}}+\ldots+1}=\displaystyle\frac{1+\ldots+1\;(m \text{ veces})}{1+\ldots +1\;(n \text{ veces})}=\displaystyle\frac{m}{n}.[/texx]
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