23/06/2018, 03:31:49 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Puedes practicar LATEX con el cómodo editor de Latex online
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Máximo hexágono inscrito en cuadrado  (Leído 133 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
brestj
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 1


Ver Perfil
« : 06/06/2018, 05:07:59 pm »

Necesito resolver éste problema de optimización que no pudieron resolver las personas a las que consulté. :BangHead: Créanme que fueron muchas. Dependerá de ustedes si es una tontería o no.
El problema es el siguiente:
Tengo un cuadrado de 165mm*165mm. Si quiero dibujar un hexágono dentro del cuadrado, de tal forma que el área de dicho hexágono sea máxima, cuál sería la medida de sus lados y apotema?
Desde ya les agradezco mucho  :sonrisa_amplia:
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.013


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 12/06/2018, 07:59:24 am »

Hola

Necesito resolver éste problema de optimización que no pudieron resolver las personas a las que consulté. :BangHead: Créanme que fueron muchas. Dependerá de ustedes si es una tontería o no.
El problema es el siguiente:
Tengo un cuadrado de 165mm*165mm. Si quiero dibujar un hexágono dentro del cuadrado, de tal forma que el área de dicho hexágono sea máxima, cuál sería la medida de sus lados y apotema?
Desde ya les agradezco mucho  :sonrisa_amplia:

En general supón un cuadrado de lado [texx]L[/texx] y un hexágono de lado [texx]r.[/texx] Maximizar el área equivale a maximizar el lado [texx]r[/texx], ya que el área depende de manera estrictamente creciente del lado.

Al menos un lado del hexágono tiene que tocar dos lados consecutivos del cuadrado. En el dibujo suponemos tal lado el [texx]EF[/texx].



Llamamos [texx]\alpha[/texx] al ángulo que forma ese lado del hexágono con el lado del cuadrado.

Para que los vértices adyacentes a [texx]E[/texx] y [texx]F[/texx] no se salgan fuera del cuadrado tiene que cumplirse que:

[texx]\color{red}30\leq \alpha\leq 60\color{black}[/texx]

Además el vértice opuesto al [texx]E[/texx] no puede estar a mayor distancia del lado del cuadrado opuesto que [texx]L[/texx]. De ahí:

[texx]2rsin(120^o-\alpha)\leq L[/texx]

Lo análogo para el vértice opuesto a [texx]F.[/texx]

[texx]2rsin(30^o+\alpha)\leq L[/texx].

De donde:

[texx]r\leq min\left\{\dfrac{L}{2sin(120^o-\alpha)},\dfrac{L}{2sin(30^o+\alpha)}\right\}[/texx]

Por tanto el máximo valor de [texx]r[/texx] es el máximo de la función:

[texx]f(\alpha)=min\left\{\dfrac{L}{2sin(120^o-\alpha)},\dfrac{L}{2sin(30^o+\alpha)}\right\}[/texx] con [texx]\alpha\in \color{red}[30^o,60^o]\color{black}[/texx]

Es fácil ver que tal máximo se alcanza cuando:

[texx]\dfrac{L}{2sin(120^o-\alpha)}=\dfrac{L}{2sin(30^o+\alpha)}[/texx]

de donde [texx]\alpha=45^o[/texx].

De ahí:

[texx]r=\dfrac{L}{2sin(75^o)}=\dfrac{L(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}[/texx]

Saludos.

CORREGIDO

* cuadrahexag.png (74.06 KB - descargado 28 veces.)
En línea
hméndez
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Venezuela Venezuela

Mensajes: 183


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 12/06/2018, 10:10:34 am »

Hola

Necesito resolver éste problema de optimización que no pudieron resolver las personas a las que consulté. :BangHead: Créanme que fueron muchas. Dependerá de ustedes si es una tontería o no.
El problema es el siguiente:
Tengo un cuadrado de 165mm*165mm. Si quiero dibujar un hexágono dentro del cuadrado, de tal forma que el área de dicho hexágono sea máxima, cuál sería la medida de sus lados y apotema?
Desde ya les agradezco mucho  :sonrisa_amplia:

En general supón un cuadrado de lado [texx]L[/texx] y un hexágono de lado [texx]r.[/texx] Maximizar el área equivale a maximizar el lado [texx]r[/texx], ya que el área depende de manera estrictamente creciente del lado.

Al menos un lado del hexágono tiene que tocar dos lados consecutivos del cuadrado. En el dibujo suponemos tal lado el [texx]EF[/texx].



Llamamos [texx]\alpha[/texx] al ángulo que forma ese lado del hexágono con el lado del cuadrado.

Para que los vértices adyacentes a [texx]E[/texx] y [texx]F[/texx] no se salgan fuera del cuadrado tiene que cumplirse que:

[texx]60\leq \alpha\leq 120[/texx]

Además el vértice opuesto al [texx]E[/texx] no puede estar a mayor distancia del lado del cuadrado opuesto que [texx]L[/texx]. De ahí:

[texx]2rsin(120^o-\alpha)\leq L[/texx]

Lo análogo para el vértice opuesto a [texx]F.[/texx]

[texx]2rsin(30^o+\alpha)\leq L[/texx].

De donde:

[texx]r\leq min\left\{\dfrac{L}{2sin(120^o-\alpha)},\dfrac{L}{2sin(30^o+\alpha)}\right\}[/texx]

Por tanto el máximo valor de [texx]r[/texx] es el máximo de la función:

[texx]f(\alpha)=min\left\{\dfrac{L}{2sin(120^o-\alpha)},\dfrac{L}{2sin(30^o+\alpha)}\right\}[/texx] con [texx]\alpha\in [60^o,120^o][/texx]

Es fácil ver que tal máximo se alcanza cuando:

[texx]\dfrac{L}{2sin(120^o-\alpha)}=\dfrac{L}{2sin(30^o+\alpha)}[/texx]

de donde [texx]\alpha=45^o[/texx].

De ahí:

[texx]r=\dfrac{L}{2sin(75^o)}=\dfrac{L(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}[/texx]

Saludos.

¡Bien! Luis. El problema es muy interesante, sin embargo no subí mi solución porque no encontré una forma sencilla de
justificarla. ¡Ah! una cosa más, hay una errata en el intervalo que se deduce para [texx]\alpha[/texx] debe ser [30°, 60°].

Saludos
 
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.013


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 13/06/2018, 09:10:10 am »

Hola

¡Ah! una cosa más, hay una errata en el intervalo que se deduce para [texx]\alpha[/texx] debe ser [30°, 60°].

Si, tienes razón. Gracias por avisar.

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!