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Autor Tema: Existencia de números de Goldbach en pequeños intervalos  (Leído 251 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Joseferm
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« : 05/06/2019, 02:56:56 pm »

Hola a todos.

Acabo de leer una muy farragosa demostración de 11 páginas, de un tal A. Languasco publicada en Acta Arithmética LXXXIII.2 (1998), repleta de teoría analítica de números y asumiendo como cierta la Hipótesis de Riemann, para demostrar que para todo X lo suficientemente grande, siempre existe al menos un  G-número  en el intervalo  [texx]\left\{{X ,  X + L ^3}\right\}[/texx], entendiendo por G-número cualquier entero positivo par que cumpla con la conjetura de Goldbach y siendo  [texx]L = Log X[/texx].

Por ejemplo, según esto  , si X=1000, entonces existe un G entre 1000  y  1329 y si X=1.000.000  entonces existe un G entre 1.000.000 y 1.002.636

Yo llevo trasteando esta conjetura desde hace tiempo, y me ha sorprendido que para demostrar "que al menos"  existe un número G en intervalos cortos haga falta tanto despliegue matemático. 

Alguno de vosotros conoce algún método más sencillo de confirmar la existencia de un G en un intervalo corto determinado ?

Un saludo.
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feriva
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« Respuesta #1 : 05/06/2019, 03:55:42 pm »



Alguno de vosotros conoce algún método más sencillo de confirmar la existencia de un G en un intervalo corto determinado ?

Un saludo.

No; y lo he buscado.
Es que es muy difícil, ciertamente. Hay muy poco donde agarrarse; y más si se usa sólo teoría de números corriente, no analítica.

Saludos.
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Joseferm
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« Respuesta #2 : 05/06/2019, 06:32:24 pm »

Gracias por tu respuesta, Feriva.

He leído muchos comentarios tuyos sobre la conjetura de Goldbach y sé que es un asunto que te interesa.

Yo considero que,  con todos mis respetos para la teoría analítica, hay asuntos que pueden ser más simples de lo que a veces parecen, si se tiene la suerte de dar con el enfoque adecuado. En concreto, estoy convencido de que si se acepta como base de partida el simple teorema de los números primos [texx]\pi(x) = x / Lx[/texx]   sin tener que recurrir a nada más, puede demostrarse que existe un G, en intervalos realmente cortos.

Cuando digo lo de aceptar el teorema de los primos me refiero, como es lógico,  a que si por ejemplo  [texx]\pi(50000) = 4621,16[/texx]  y  [texx]\pi(50100) = 4629,55[/texx] entonces puedo dar por sentado que en ese intervalo existen sin discusión alguna ( distribuidos de cualquier manera) 8 números primos.

Realmente creo que existe esa demostración más sencilla.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 06/06/2019, 03:28:02 am »

Hola

Yo considero que,  con todos mis respetos para la teoría analítica, hay asuntos que pueden ser más simples de lo que a veces parecen, si se tiene la suerte de dar con el enfoque adecuado. En concreto, estoy convencido de que si se acepta como base de partida el simple teorema de los números primos [texx]\pi(x) = x / Lx[/texx]   sin tener que recurrir a nada más, puede demostrarse que existe un G, en intervalos realmente cortos.

 Es que el Teorema de los números primos no es ese. Lo que has escrito ahí es falso.

 Lo que dice tal teorema es que:

[texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\dfrac{\pi(x)}{x/Ln(x)}=1[/texx]

 es decir que asintóticamente [texx]\pi(x)[/texx] se "aproxima" a [texx]x/Ln(x)[/texx]. Pero que por si solo este resultado no permite controlar la diferencia exacta entre [texx]\pi(x)[/texx] y [texx]x/Ln(x)[/texx] para un valor concreto de [texx]x[/texx].

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #4 : 06/06/2019, 07:02:53 am »


Hola, Joseferm


Realmente creo que existe esa demostración más sencilla.



La densidad de los primos no sólo no asegura la conjetura sino que en la medida que los números son grandes se hace cada vez más improbable; pese a que a la larga, “paradójicamente”, cada vez hay más parejas de primos que suman un mismo par.
Sin duda, esta circunstancia nos hace ver que la conjetura no depende de la mera densidad (al contrario, se cumple contra corriente) sino de la distribución en un sentido más amplio o literal.
Es decir, no es una cuestión de cantidad (aunque haga falta que haya siempre primos entre “n” y “2n”, siendo “2n” el par; que los hay por el postulado de Bertrand). Es mucho más un problema de colocación, de distancias y simetrías a lo largo de la recta numérica. Con un ejemplo; tomando un par “2n” muy grande, si desordenáramos los números en el intervalo (0,n) (o sea, en vez de 0,1,2,3,4... poner 0,4,1,3,2... al azar) e hiciéramos lo mismo en el intervalo (n,2n) sería muy difícil que dos primos (uno de cada intervalo) quedaran a la misma distancia de “n”; condición ésta que es la que hace (con los números ordenados) que dos primos sumen “2n”.  Y la dificultad aumentaría al ir eligiendo números mucho más grandes; pues la densidad baja, va tendiendo a cero.
Para verlo, imagina los intervalos como dos frascos en los que hay miles de garbanzos y solamente unas decenas o cientos de judías. Si sacaras al azar una legumbre de un frasco y otra del otro, sería muy difícil que coincidieran dos judías en el mismo lance; aunque alargaras el proceso hasta dejar los frascos vacíos.

Eso es lo que pasa con la conjetura y, por tanto, si fuera sólo por densidad y los primos estuvieran distribuidos al azar, no se cumpliría y, además, cada vez se cumpliría menos según aumentase el valor de los pares, con lo que la distancia entre dos pares que la cumpliesen también se haría más grande; llegando a ser “infinitamente” grande, en el sentido numerable de la palabra.

El trabajo que citas, según comentas, se apoya en la hipótesis de Riemann; creo entender entonces que es un teorema sobre una conjetura; dicho en otras palabras, sólo será teorema el día que se demuestre la hipótesis de Riemann (cosa igualmente dificilísima de demostrar). 
Así que ni eso que se dice en ese trabajo es seguro. Hasta hoy, creo, no se puede saber lo que preguntas (tampoco estoy seguro, a lo mejor hay cotas, no estoy informado de todo).

Saludos.
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« Respuesta #5 : 06/06/2019, 03:09:01 pm »

Buenas tardes, Luis.  

Gracias por la puntualización y perdona mi excesiva simplificación coloquial a la hora de hablar del teorema. Sé que la expresión correcta es la que indicas y que la mejor aproximación a [texx]\pi(x)[/texx] es [texx]Li(x)[/texx] . Sin embargo, para lo que pretendo plantear, lo utilizo en su forma más sencilla , porque yo no pretendo controlar la diferencia exacta entre  [texx]\pi(x)[/texx] y [texx]x/Ln(x)[/texx] para un valor concreto de [texx]x[/texx] , sino simplemente tener una cota inferior de  [texx]\pi(x)[/texx], para un [texx]x[/texx] concreto.

Y todo porque si se parte de que [texx]x/Ln(x)[/texx] es inferior a [texx]\pi(x)[/texx] entonces pienso que se puede  demostrar (estoy en ello) que en todo intervalo corto,    [texx]\big( x-{\frac{Ln(x)}{2}} ; x+{\frac{Ln(x)}{2}}\big)[/texx], existe al menos un G-número.  Este intervalo es sustancialmente menor que el  [texx]\left\{{x ,  x + Ln(x) ^3}\right\}[/texx] que se utilizaba  en el artículo al que yo hacía referencia en mi primer mensaje.
 
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Joseferm
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« Respuesta #6 : 07/06/2019, 09:27:40 am »


Para verlo, imagina los intervalos como dos frascos en los que hay miles de garbanzos y solamente unas decenas o cientos de judías. Si sacaras al azar una legumbre de un frasco y otra del otro, sería muy difícil que coincidieran dos judías en el mismo lance; aunque alargaras el proceso hasta dejar los frascos vacíos.

Hola Feriva.

Está muy bien lo de los frascos de legumbres, con unas pocas judías mezcladas al azar entre miles de anodinos garbanzos.  El problema que le veo a la comparación es cuando dices  sacar al azar .

Por seguir con la comparación de los frascos, que me gusta :   

Hay dos hechos en ese proceso de sacar legumbres que no son tan al azar.  El primero es que cuando pones los dos frascos uno junto al otro, el de la izquierda tiene más judias que el de la derecha y están inteligentemente más concentradas en la parte inferior del frasco. En cambio, el de la derecha, tiene menos judías, pero tambien inteligentemente más concentradas en su parte superior.

El segundo hecho, que no deja margen al azar es que cuando te pones a sacar legumbres de los dos frascos para comparar y ver si casualmente son dos judías, tienes que hacerlo siempre sacando de la misma altura en los dos frascos, con lo que te encuentras que la menor concentración inferior del de la derecha se compensa con la mayor concentración  inferior del de la izquierda  y viceversa.

Como es lógico, el primer frasco representa los enteros positivos de 1 a n-1  , y el segundo los enteros positivos de n+1 a 2n, siendo n el centro de simetría de los dos intervalos.

No he hecho ningún cálculo al respecto, pero me huelo (simple intuición de aficionado)  que debido a estos dos hechos, las probabilidades de dar con una pareja de judías a la misma altura en cada frasco ( sea esta una probabilidad grande o sea pequeña, no lo sé ) es bastante constante   sea cual sea la altura a la que extraigas las legumbres.     

¿Qué opinas?

Saludos.
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« Respuesta #7 : 07/06/2019, 11:25:23 am »



No he hecho ningún cálculo al respecto, pero me huelo (simple intuición de aficionado)  que debido a estos dos hechos, las probabilidades de dar con una pareja de judías a la misma altura en cada frasco ( sea esta una probabilidad grande o sea pequeña, no lo sé ) es bastante constante   sea cual sea la altura a la que extraigas las legumbres.     

¿Qué opinas?

Saludos.


Si te refieres a que, tomando, por ejemplo, un número del centro de los intervalos (es decir, un número en torno a [texx]\dfrac{n}{2}
 [/texx] en la izquierda y en torno a [texx]2n-\dfrac{n}{2}=\dfrac{3n}{2}
 [/texx] a la derecha, por caso) la probabilidad a lo largo de todos los números sea parecida a tomar [texx]\dfrac{n}{3}
 [/texx] y [texx]2n-\dfrac{n}{3}=\dfrac{5n}{3}
 [/texx], por ejemplo (o para otras fracciones de “n”) pues seguramente sí, creo que a la larga, cuando lo hayamos mirado para muchos pares, la cantidad de parejas de primos que suman el par según una zona u otra será parecida (pero tampoco lo he comprobado).

En cuanto a lo otro, en la demostración que dices del hombre ése, la función contadora de primos, en su concepto como “cantidad de primos” sospecho que tiene poco que ver con lo que postula. Es cierto que la función Z de Riemanna es equivalente al teorema de los números primos, está ligado estrechamente con él, con el logaritmo integral y unas cosas que yo no he estudiado; pero lo menos importante ahí es lo que nos pueda decir el teorema de los primos sobre la cantidad (aunque no deje de ser un hecho a tener en cuenta). Lo que supongo que importa, lo que ayuda a elaborar la idea tomando la hipótesis de Riemann, es que los ceros de la función Z cumplen unas mismas propiedades que también cumplen los primos (en hipótesis todos los ceros las cumplen). Esas propiedades tienen que ver con frecuencias armónicas que se analizan con análisis de Fourier (que yo tampoco he estudiado) y que, imagino, está relacionadas con las distancias, simetrías... y demás cosas que existen entre los primos.

Saludos.
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