24/02/2020, 17:02:12 *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Duda con demostración en optimización  (Leído 992 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
thadeu
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 75


Ver Perfil
« : 27/05/2018, 14:32:14 »

Hola amigos del rincon, necesito de su ayuda para poder entender la siguiente prueba.

Problema.
Sea [texx]P [/texx] un punto adentro o en la frontera del triangulo [texx]ABC[/texx].  Sean [texx]d_a,d_b,d_c[/texx] las distancias de [texx]P[/texx] a [texx]BC,CA,AB[/texx] respectivamente. Demuestren que [texx]máx.(AP,BP,CP)[/texx] es mayor o igual a  [texx]\sqrt{d_a^2+d_b^2+d_c^2}[/texx]. Encuentra cuando se da la igualdad.


Solución.
Queremos ver que si tenemos un círculo de radio [texx]R[/texx] centro [texx]P[/texx] y tres puntos [texx]A,B,C[/texx] dentro, entonces la suma de los cuadrados de las distancias del centro a los tres lados es menor o igual a [texx]R^2[/texx]. Es fácil ver que podemos "inflar" el triángulo, así que SPDG [texx]P [/texx] es el circuncentro de [texx]ABC[/texx], y que quede dentro de él, y por tanto será acutángulo. Como la distancia de [texx]P[/texx] a [texx]BC[/texx] es [texx]R^2-a^2/4[/texx] donde [texx]a=BC[/texx], vemos que el problema es equivalente a ver que

[texx]8R^2 \le \sum_{cyc} a^2[/texx]

Y se reduce a ver que si [texx]A+B+C=180º[/texx] con [texx]0\leq A,B,C\leq{90}[/texx] entonces

[texx]\sum_{cyc} sin^2(A) \geq{ 2}.[/texx]

Pero, fijando [texx]A[/texx], mostrarémos que esa suma se minimiza con [texx]B=90[/texx] o [texx]C=90[/texx].

Para hacer ésto, basta con ver que dadas dos rectas y un círculo, la suma de los cuadrados de las distancias de un punto sobre el círculo a las rectas se minimiza cuando el punto yace sobre las rectas. Per vemos que, si fijamos la suma de los cuadrados de las distancias, el lugar geométrico de los puntos será una elipse con focos sobre la bisectriz de las rectas (aplicando una tranformación afín al plano donde las rectas son los ejes y el círculo unitario se transforma en una elpise). Entonces es fácil ver ésto.

LAS DUDAS QUE TENGO SON.

1. ¿Como, Sin pérdida de genaralidad se puede ver que [texx]P[/texx] es el circuncentro del triangulo [texx]ABC[/texx]?, Pregunto esto por que me parece que ése paso es clave en la solución del problema.
2.Basicamente no logro interpretar bien el último paso.
Para hacer ésto, basta con ver que dadas dos rectas y un círculo, la suma de los cuadrados de las distancias de un punto sobre el círculo a las rectas se minimiza cuando el punto yace sobre las rectas. Per vemos que, si fijamos la suma de los cuadrados de las distancias, el lugar geométrico de los puntos será una elipse con focos sobre la bisectriz de las rectas (aplicando una tranformación afín al plano donde las rectas son los ejes y el círculo unitario se transforma en una elpise)

Desde luego gracias  por la ayuda que me puedan brindar.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!