Isomorfismo y espacios vectoriales isomorfos

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super_eman:
Tengo unos ejercicios "Tipos" para el final que me toman esta semana de Álgebra I donde tengo dificultades:

1- Demostrar que[texx]M_{2x3}(\mathbb{R})[/texx] es isomorfo a [texx]\mathbb{R}^6[/texx] determinando el isomorfismo que existe entre ambos.

2- Si V y W son espacios vectoriales de dimensión  n y m respectivamente sobre el cuerpo [texx](\mathbb{R})[/texx]. Demostrar que dim(L(V,W))=mxn. Donde L(V,W) es el conjunto de todas las aplicaciones lineales de V en W.

Suplico su ayuda me queda poco tiempo, Gracias.
Saludos.

Fernando Revilla:
1.- Como [texx]\dim (M_{2\times{3}}(\mathbb{R}))=\dim {\mathbb{R}}^6=6[/texx], los espacios [texx]M_{2\times{3}}(\mathbb{R})[/texx] y [texx]{\mathbb{R}}^6=6[/texx] son isomorfos.

Definimos la aplicación [texx]f:M_{2\times{3}}(\mathbb{R})\rightarrow{\mathbb{R}}^6[/texx]

[texx]f\left(\begin{bmatrix}{x}&{y}&{z}\\{t}&{u}&{v}\end{bmatrix}\right)=(x,y,z,t,u,v)[/texx]
.

Es facil demostrar que f es isomorfismo, i.e. lineal, [texx]\ker f=\left\{{0}\right\}[/texx] e [texx]\im f ={\mathbb{R}}^6[/texx]

2.- Fijando dos bases [texx]B_V,\;B_W[/texx] de V y W respectivamente definimos la aplicación [texx]F:L(U,V)\rightarrow{M_{m\times{n}}(\mathbb{R})}[/texx], [texx]F(f)=A[/texx], en donde [texx]A[/texx] representa la matriz de f en las bases fijadas. La aplicación F es isomorfismo y en consecuencia:

[texx]\dim L(U,V)=\dim M_{m\times{n}}(\mathbb{R})=m\cdot{n}[/texx]

Saludos.

super_eman:
Hola y muchas gracias por responder.

La primera de las cuestiones la comprendí.

La segunda me hice un lío con las bases y de dónde salió f, qué es U.
No entendí cómo llegamos a que dim(L(V,W))=m.n=Mmxn.

Perdona mi ignorancia   :banghead:
Gracias y Saludos

Fernando Revilla:
Perdona, quise por supuesto decir [texx]F:L(V,W)\rightarrow{M_{m\times{n}}(\mathbb{R})}[/texx]. Utilizando la propiedad [texx]\dim M_{m\times{n}}(\mathbb{R})=m\cdot{n}[/texx], basta demostrar que [texx]F[/texx] es isomorfismo para que automaticamente ocurra  [texx]\dim L(V,W)=m\cdot{n}[/texx] pues dos espacios isomorfos tienen la misma dimensión.

Saludos

super_eman:
Gracias, con tu ayuda y con sentarme a leer un buen rato las mismas hojas entendí lo que no entendía, Muchas Gracias.
Saludos

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