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Autor Tema: Minimizar esperanza sujeta a una restricción de la varianza  (Leído 875 veces)
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« : 23/05/2018, 05:38:29 pm »

Hola

Si quiero minimizar [texx]T(y)=rE[\max\{X-y,0\}]+ty[/texx] sujeto a [texx]Var[T(y)]\leq{}a[/texx] siendo [texx]X[/texx] una variable aleatoria y [texx]r>t>0, a>0, y>0[/texx]. ¿Cómo es la condición de primer orden y cuál debería ser la segunda para que sea un mínimo global?

Saludos.
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« Respuesta #1 : 24/05/2018, 07:19:14 am »

Hola buenos días.
Creo que éste puede ser un problema interesante, pero no entiendo la condición [texx]Var[T(y)]\leq{}a[/texx]. Según has definido [texx]T(y)[/texx], ésta no es una variable aleatoria, sino una función real de variable real que queremos optimizar, por eso no entiendo lo de su varianza.
He supuesto que [texx]E[/texx] significa esperanza y [texx]Var[/texx] varianza.
Saludos
P. D. ¿Es posible que te den la función de densidad de X?
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« Respuesta #2 : 24/05/2018, 09:00:51 am »

Perdón, quise poner minimizar [texx]ET(X,y)[/texx] siendo [texx]y[/texx] un real y [texx]V(X,y)\leq{}a[/texx]. Creo que la condición de primer orden sin restricción sería

[texx]1-F(y)=\displaystyle\frac{t}{r}[/texx], con restricción supongo que habría que hacer un lagrangiano.

Además

 [texx]V(X,y)=V(max\{X-y,0\})=\displaystyle\int_{y}^{\infty}(x-y)^2f(x)dx-(\displaystyle\int_{y}^{\infty}(x-y)f(x)dx)^2[/texx] no?

La condición de primer orden con restricción puede ser que quede

[texx](1-F(y))(2+r)+t=\lambda 2E[max\left\{{X-y,0}\right\}](1-F(y))[/texx]


Saludos
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« Respuesta #3 : 27/05/2018, 04:33:50 am »

Hola buenas.
El enunciado me sigue pareciendo un poco confuso. Despista un poco lo de "minimizar ET(X,y)", casi que en esa parte me quedaba con lo de antes. También me resulta extraño que llames [texx]V(X,y)= Var(max\left\{X-y,0\right\})[/texx]. Pero bueno, aún así creo que entre un enunciado y otro te he entendido mejor.
Asumo que F(t) es la función de distribución de X.

Pues sí, en ese caso estoy contigo en que al derivar T(y) e igualar a 0, queda esta ecuación:
[texx]1-F(y)=\displaystyle\frac{t}{r}[/texx]

Ahora bien, para hacer lo de los multiplicadores de Langrange (se me hace un poco extraño en este caso hacer este método porque la función que queremos minimizar tiene sólo una variable, creo... Pero diría que sí se puede hacer) construyo la función:
[texx]\phi(y,\lambda)=T(y)+\lambda \left[Var(max\left\{X-y,0\right\})-a\right][/texx].

Y a mí me queda:

[texx]\frac{{\partial \phi}}{{\partial y}}=r[F(y)-1]+t+2\lambda E(X) F(y)[/texx]

Tal vez me haya equivocado, pero el caso es que parece que no coincidimos.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 27/05/2018, 08:27:43 pm »

Hola

Lo voy a mirar. Otra forma es imponer que los [texx]y[/texx] deben cumplir que [texx]1-F(y)=\displaystyle\frac{t}{r}[/texx] y [texx]Var[T(y)]\leq{}a[/texx]. Por ejemplo si [texx]X[/texx] es uniforme en [texx][0,1][/texx],

[texx]Var[T(y)]=\displaystyle\frac{r^2(1-y)^3(3y+1)}{12}\leq{}a[/texx] y ver cuáles valores de [texx]y[/texx] cumplen las dos condiciones.


Saludos
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« Respuesta #5 : 28/05/2018, 07:17:37 am »

Hola Quema, ¿cómo estás?

Pues es que en este mensaje me vuelve a descuadrar lo de [texx]Var[T(y)][/texx]. Si te parece voy a escribir el enunciado que he intentado resolver en mi respuesta anterior, y me dices si coincide con lo que estás intentando resolver tú:

Sea X una variable aleatoria continua cuya función de distribución es F(x). Sean r>t>0; a>0; b>0 y>0 números reales fijos. Encuentra el mínimo absoluto de:

[texx]T(y)=rE[max\{X-y,0\}]+ty[/texx]

Para los valores de y que cumplan que:

[texx]Var[max\{X-y,0\}]\leq{a}[/texx]


¿Es esto lo que estás intentando resolver tú?
Saludos.
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« Respuesta #6 : 28/05/2018, 09:29:46 am »

Si, así es (pones un [texx]b[/texx] que no se qué es). Puedes ver un ejemplo fácil, suponiendo [texx]X[/texx] se distribuye uniforme en [texx][0,1].[/texx]
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« Respuesta #7 : 29/05/2018, 03:14:48 am »

Hola, buenas.

Quería poner y>0. :sonrisa:

Ahora parece que sí coincidimos en el caso de que [texx]X=U(0,1)[/texx] en que, para valores de [texx]y\in{[0,1]}[/texx]:

[texx]Var(max\{X-y,0\})=\displaystyle\frac{(1-y)^3(3y+1)}{12}[/texx]

Salvo que tú has puesto un [texx]r^2[/texx].

Yo ahora lo que haría es decir que en [texx]y=1-\displaystyle\frac{t}{r}[/texx] la función [texx]T(y)[/texx] tiene un mínimo por ser [texx]T'(y)=0[/texx] y [texx]T''(y)=f(y)>0[/texx]. Verificaría que se cumple [texx]\displaystyle\frac{(1-y)^3(3y+1)}{12}\leq{}a[/texx] para ese valor de [texx]y[/texx], y de no ser así calcularía para qué valores de [texx]y\in{}[0,1][/texx] es [texx]\displaystyle\frac{(1-y)^3(3y+1)}{12}=a[/texx] y mirar para cuál o cuáles de esos valores adquiere la función [texx]T(y)=r\displaystyle\frac{(1-y)^2}{2}+ty[/texx] un valor mínimo.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 13/06/2018, 08:30:29 am »

Hola

 No me queda claro en el planteamiento del problema cuales son datos y cuales son variables.

 Si la única variable es [texx]y[/texx] no es un problema para resolver mediante multiplicadores de Lagrange.

 La condición sobre la varianza en realidad sólo nos dice que en que intervalo puede moverse [texx]y[/texx]; el máximo se alcanzará en el interior de ese intervalo (en cuyo caso manda la condición [texx]T'(y)=0[/texx]) o en los extremos del mismo.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 13/06/2018, 09:16:56 am »

Hola Luis.
Pues parece que finalmente acordamos el enunciado que está en negrita en la respuesta 5.
Luego Quema añadió una distribución concreta para X.
A mí también me extrañó un poco lo del método de Lagrange, por eso la recomendación de mi anterior mensaje, ¿no va mal, no?
Gracias.

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« Respuesta #10 : 13/06/2018, 03:14:36 pm »

Hola Luis,

Si, [texx]y[/texx] es la variable independiente. Cómo quedaría la condición de primer orden para cualquier variable aleatoria [texx]X[/texx]?

Sin restricción, la condición de primer orden es

[texx]1-F(y)=\displaystyle\frac{t}{r}[/texx] 

y suponiendo que hay un valor de [texx]y^*[/texx] único que resuelve esa ecuación. Y ese valor debería cumplir que

[texx]Var[T(y^*)]\leq{}a[/texx]. Es así que se obtiene?

Saludos
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« Respuesta #11 : 14/06/2018, 05:22:44 am »

Hola

Si, [texx]y[/texx] es la variable independiente. Cómo quedaría la condición de primer orden para cualquier variable aleatoria [texx]X[/texx]?

Sin restricción, la condición de primer orden es

[texx]1-F(y)=\displaystyle\frac{t}{r}[/texx] 

y suponiendo que hay un valor de [texx]y^*[/texx] único que resuelve esa ecuación. Y ese valor debería cumplir que

[texx]Var[T(y^*)]\leq{}a[/texx]. Es así que se obtiene?

Si, y si no lo cumple entonces el mínimo está en alguno de los valores que verifican:

[texx]Var[T(y^*)]=a[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #12 : 14/06/2018, 09:04:33 am »

1) Formalmente cómo se expresaría ese óptimo.

2) Y si no supiéramos la distribución de [texx]X[/texx], pero si su suporte en [texx][a,b][/texx], ahí cómo se resolvería? Sabemos por la desigualdad de Gruss que [texx]V(T(y))\leq{}\displaystyle\frac{(T(y,b)-T(y,a))^2}{4}[/texx], y ahí, cómo hallamos [texx]y[/texx]? En este caso al no conocer [texx]F[/texx] deberíamos obtener un [texx]y[/texx] de la desigualdad de la varianza.
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« Respuesta #13 : 15/06/2018, 05:09:10 am »

Hola

1) Formalmente cómo se expresaría ese óptimo.

Pues.. en realidad como te he dicho. Es decir no se si aporta mucho dar una expresión aparentemente más críptica.

[texx]y^*\in \mathbb{R}|\quad T(y^*)=min\{T(y)|\color{red}(1-F(y)=\dfrac{t}{R}\wedge Var[T(y)]\leq a)\color{black}\vee Var[T(y)]=a\}[/texx]

Cita
2) Y si no supiéramos la distribución de [texx]X[/texx], pero si su suporte en [texx][a,b][/texx], ahí cómo se resolvería? Sabemos por la desigualdad de Gruss que [texx]V(T(y))\leq{}\displaystyle\frac{(T(y,b)-T(y,a))^2}{4}[/texx], y ahí, cómo hallamos [texx]y[/texx]? En este caso al no conocer [texx]F[/texx] deberíamos obtener un [texx]y[/texx] de la desigualdad de la varianza.

Pero ahí hay que fijar bien el problema; en principio el óptimo depende de la distribución de [texx]X[/texx], si no la conocemos entonces o bien la ponemos como variable, es decir, también queremos hallar la distribución [texx]X[/texx] que nos da el mínimo de [texx]T(y)[/texx] o bien quizá interese hallar alguna cota para es valor óptimo.

Saludos.
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« Respuesta #14 : 15/06/2018, 11:14:11 am »

Hola

No entedí, la expresión críptica,


[texx]y^*[/texx] sea tal que [texx]1-F(y^*)=\dfrac{t}{R}[/texx], pero [texx]V(T(y^*))>a[/texx] no entiendo bien el operador [texx]\vee[/texx].

Saludos

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« Respuesta #15 : 18/06/2018, 06:50:16 am »

Hola

[texx]y^*[/texx] sea tal que [texx]1-F(y^*)=\dfrac{t}{R}[/texx], pero [texx]V(T(y^*))>a[/texx] no entiendo bien el operador [texx]\vee[/texx].

Tenía un error.

El operador [texx]\vee[/texx] significa " ó " y el operador [texx]\wedge[/texx] " y ".

Saludos.
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