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Autor Tema: UTF 3 (III)  (Leído 735 veces)
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Fernando Moreno
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« : 20/05/2018, 04:51:12 pm »

Hola, este planteamiento seguramente está mal por culpa de mis escasos conocimientos de álgebra. Es como sigue:

Supongo que:  [texx]z^3=x^3+y^3[/texx] ;  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros y coprimos 2 a 2.

Luego:  [texx]y^3=z^3-x^3\,=\,(z-x)\,(\,(z-x)^2+3zx)[/texx]

Sabemos además que:  [texx]z=x+y-d[/texx] ,  para cierto  [texx]d[/texx]  entero. Por lo tanto:  [texx]y^3=(y-d)\,(\,(y-d)^2+3zx)[/texx] .

Yo entiendo entonces que  “ [texx]d[/texx] “  será una de las raíces de la ecuación de tercer grado en  [texx]\pmb{y}[/texx]  de:  [texx]\pmb{y^3-(z^3-x^3)=0}[/texx] .  En concreto su única raíz real. Esto puedo averiguarlo de dos maneras diferentes: Directamente viendo que el discriminante de la ecuación es menor que cero:  [texx]\Delta\,<\,0[/texx]  y que por lo tanto la ecuación tendrá una sola raíz real y dos complejas; o bien más indirectamente intentando averiguar sus otras 2 raíces:

Tengo que:  [texx]y^3=(y-d)\,(\,(y-d)^2+3zx)[/texx] .  Como sé (creo) que ya tengo una de las raíces, las otras 2 deberán estar en:  [texx](y-d)^2+3xz=0[/texx] .  Opero:  [texx]y^2+d^2-2dy+3zx=0[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2-2dy+(d^2+3zx)=0[/texx] .  Esto es, una sencilla ecuación de segundo grado:

[texx]y_1,y_2=\dfrac{2d\pm\sqrt{4d^2-4(d^2+3zx)}}{2}[/texx]  [texx](=)[/texx]  [texx]\dfrac{2d\pm2\,\sqrt{d^2-(d^2+3zx)}}{2}[/texx]  [texx]\Rightarrow[/texx]  [texx]y_1,y_2=d\pm\sqrt{-3zx}[/texx] .  Luego efectivamente ambas son complejas.

Lo demás es inmediato -entiendo yo-. Si  [texx]y=d[/texx] ,  entonces:  [texx]z-x=0[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z=x[/texx] .

Me gustaría saber el error (o errores) de concepto. Gracias de antemano,
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« Respuesta #1 : 21/05/2018, 04:50:59 am »

Hola, Fernando.

No estoy seguro del todo de la idea que tienes en la cabeza, pero si es esto lo que dices:

[texx]y^{3}=(y-d)\,(\,(y-d)^{2}+3zx)
 [/texx]

con [texx]y-d=0
 [/texx]

entonces

[texx]y^{3}=0\,(\,(y-d)^{2}+3zx)=0
 [/texx]

[texx]y^{3}=0\Rightarrow y=0
 [/texx]

Estás asumiendo de partida que y=0, con lo cual el “teorema” es cierto, porque en ese caso [texx]x^{3}=z^{3}
 [/texx] existe; ejemplo cualquiera: [texx]27-27=0
 [/texx]; x=3; z=3; y=0.

Pero nadie niega ese caso trivial ni tampoco ese caso trivial demuestra que no existan otros casos; no impone tal condición.

Eres tú el que el que pones una condición particular al hacer aquí  "z=x+y-d" que y cumpla "y=d"; esto puede ser que sí... o puede ser que. Para verlo piensa en valores existentes para x,y,z, con valores irracionales o reales en general; existen y no tiene por qué ser y=d.

Ésta es una manera de salir de estos errores, pensando en reales, porque las ecuaciones de tercer grado rezan par números de todos los colores y las raíces que se consideran son reales (no sólo enteras) o complejas.


También puedes hacer un planteamiento paralelo para una terna pitagórica en la que “y” será distinta de “d”:

[texx]x^2+y^2=z^2[/texx] con x=3, y=4, z=5.

Entonces existe “d” tal que [texx]x+y-d=z;\,\,3+4-2=5[/texx], y d=2, no d=4=y.

Si Luis pasa por aquí, te podrá hacer ver que cometes el mismo error que Minette ha venido cometiendo últimamente; no usas condiciones para los enteros, sólo dices que son coprimos y tal... pero también podrías decir que no, porque no haces valer consideraciones de divisibilidad, mínimo de los naturales... ni ninguna cosa así.



Saludos.
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Fernando Moreno
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« Respuesta #2 : 21/05/2018, 06:29:04 am »

Hola feriva, gracias por contestar.

En realidad yo no parto de que  [texx]y-d=0[/texx] ;  ó por lo menos no he querido hacer eso. En principio parto de que:  [texx]y-d=z-x[/texx] ,  que es una cantidad entera mayor que 0 que existe si es cierto que  [texx]z^3=x^3+y^3[/texx] .

Que por lo tanto:  [texx]y^{3}=(y-d)\,(\,(y-d)^{2}+3zx)[/texx] ,  es cierto y es una tautología. El argumento es que como parto precisamente de que  [texx]y[/texx]  es entero (sí que pongo esa condición) y la única raíz real (entera) de la ecuación de tercer grado  [texx]y^3[/texx]  es  [texx]d[/texx] ;  entonces:  [texx]y=d[/texx] .  Es algo a lo que llego posteriormente, pues las otras 2 raíces son complejas e  [texx]y[/texx]  es entero. La duda que tengo es si he interpretado correctamente que debido a esta forma:  [texx]y^{3}=(y-d)\,(\,(y-d)^{2}+3zx)[/texx] ,  puede deducirse que  " [texx]d[/texx] " será una de las raíces de  [texx]y^3[/texx] .  Yo creo que sí, por eso he abierto este hilo.

No sé si te contesto o no.

Un cordial saludo,
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« Respuesta #3 : 21/05/2018, 07:34:18 am »

Hola feriva, gracias por contestar.

En realidad yo no parto de que  [texx]y-d=0[/texx] ;  ó por lo menos no he querido hacer eso. En principio parto de que:  [texx]y-d=z-x[/texx] ,  que es una cantidad entera mayor que 0 que existe si es cierto que  [texx]z^3=x^3+y^3[/texx] .

Que por lo tanto:  [texx]y^{3}=(y-d)\,(\,(y-d)^{2}+3zx)[/texx] ,  es cierto y es una tautología. El argumento es que como parto precisamente de que  [texx]y[/texx]  es entero (sí que pongo esa condición) y la única raíz real (entera) de la ecuación de tercer grado  [texx]y^3[/texx]  es  [texx]d[/texx] ;  entonces:  [texx]y=d[/texx] .  Es algo a lo que llego posteriormente, pues las otras 2 raíces son complejas e  [texx]y[/texx]  es entero. La duda que tengo es si he interpretado correctamente que debido a esta forma:  [texx]y^{3}=(y-d)\,(\,(y-d)^{2}+3zx)[/texx] ,  puede deducirse que  " [texx]d[/texx] " será una de las raíces de  [texx]y^3[/texx] .  Yo creo que sí, por eso he abierto este hilo.

No sé si te contesto o no.

Un cordial saludo,

Sí me contestas pero no sé si voy a ser capaz de aclarar teóricamente lo que quiero decir; mejor pongo un ejemplo:

[texx]x^{3}+y^{3}=z^{3}
 [/texx] con [texx]x=1,772453851...;\,y=2;\,z=z[/texx]; tienes que “y” es un entero, que es la condición que pones; y ahora calculo “z”.

El valor de “x” es la raíz cúbica de pi, entonces:

[texx]\pi+8=z^{3}
 [/texx]; y existe la igualdad para el irracional [texx]z=\sqrt[3]{\pi+8}
 [/texx].

A partir de ahí

[texx]y-d=z-x
 [/texx] es [texx]2-d=\sqrt[3]{\pi+8}-\sqrt[3]{\pi}
 [/texx] y [texx]d=2-0.76888995...\neq2\neq y
 [/texx].

Tú puedes hacer la hipótesis de que [texx]y-d=z-x
 [/texx] es una cantidad entera, pero tienes que poner alguna condición más para que delate la inexistencia de los tres enteros.

(todo esto suponiendo que haya entendido bien todo lo que argumentas, que a lo mejor no)

De todas formas, sea como sea, quizá no sé explicarme bien, a ver si pasa Luis, que me encuentro como solo ante el peligro :sonrisa:

Un cordial saludo.
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Fernando Moreno
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« Respuesta #4 : 21/05/2018, 08:10:42 am »

Hola feriva. Olvídate del peligro, yo en eso he cambiado un poco. Aunque creo que lo que pongo está bien, la experiencia me indica que con casi toda probabilidad no es así; así que no lo voy a defender como si la vida me fuera en ello. Algunas veces lo he hecho así, pero ahora ya no; sólo quiero aprender cuál es el error.

Algo he captado de tu respuesta, seguramente llevas razón, tiene toda la pinta. Necesito rumiarlo un poco más, eso es todo.

Un saludo,


PD. Ya lo voy viendo, la ecuación de tercer grado es válida también para irracionales, ok, gracias; pero algebraicamente entonces la deducción era correcta, eso quería saber también.
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« Respuesta #5 : 21/05/2018, 12:48:31 pm »


PD. Ya lo voy viendo, la ecuación de tercer grado es válida también para irracionales, ok, gracias; pero algebraicamente entonces la deducción era correcta, eso quería saber también.

Espera, voy a detenerme un poco más, que ocurre que soy un poco perezoso para desarrollar expresiones y eso.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Si desarrollas la ecuación que planteas

[texx]y^{3}=(y-d)\,(\,(y-d)^{2}+3zx)
 [/texx]

queda así

[texx]y^{3}=-d^{3}+3d^{2}y-3dxz-3dy^{2}+3xyz+y^{3}
 [/texx]

(si es que he metido bien la expresión en Wolfram; pinchado aquí puedes comprobar

http://www.wolframalpha.com/input/?i=expand+(y-d)((y-d)%5E2%2B3zx )

)

de donde la “y al cubo” se cancela y queda

[texx]0=-d^{3}+3d^{2}y-3dxz-3dy^{2}+3xyz
 [/texx]

Lo que era una ecuación cúbica en principio se queda en una cuadrática (si se toma “y” como variable).

Esta ecuación no se traduce exactamente en un producto de tres paréntesis pelados y mondados, como en el caso anteriormente expuesto en el spoiler, pues el coeficiente de la “y” con mayor potencia (potencia 2) no es 1, es [texx]-3d
 [/texx].

Para simplificarla podemos dividir a los dos lados por [texx]3d
 [/texx]

[texx]0=-\dfrac{d^{2}}{3}+dy-xz-y^{2}+\dfrac{xyz}{d}
 [/texx]

Multiplicamos por -1 a los dos lados

[texx]0=\dfrac{d^{2}}{3}-dy+xz+y^{2}-\dfrac{xyz}{d}
 [/texx]

ya sí queda coeficiente 1 para “y cuadrado”.

Si fuera d=y podemos sustituir y quedarnos sólo con una letra para ver qué puede pasar

[texx]0=\dfrac{y^{2}}{3}-y^2+xz+y^{2}-xz[/texx]

o sea

[texx]0=\dfrac{y^{2}}{3}\Rightarrow y=0
 [/texx]

Luego no sirve, es un caso trivial.

Un cordial saludo.
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« Respuesta #6 : 21/05/2018, 12:58:30 pm »


PD. Ya lo voy viendo, la ecuación de tercer grado es válida también para irracionales, ok, gracias; pero algebraicamente entonces la deducción era correcta, eso quería saber también.

Espera, voy a detenerme un poco más, que ocurre que soy un poco perezoso para desarrollar expresiones y eso.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Si desarrollas la ecuación que planteas

[texx]y^{3}=(y-d)\,(\,(y-d)^{2}+3zx)
 [/texx]

queda así

[texx]y^{3}=-d^{3}+3d^{2}y-3dxz-3dy^{2}+3xyz+y^{3}
 [/texx]

(si es que he metido bien la expresión en Wolfram; pinchado aquí puedes comprobar

http://www.wolframalpha.com/input/?i=expand+(y-d)((y-d)%5E2%2B3zx )

)

de donde la “y al cubo” se cancela y queda

[texx]0=-d^{3}+3d^{2}y-3dxz-3dy^{2}+3xyz
 [/texx]

Lo que era una ecuación cúbica en principio se queda en una cuadrática (si se toma “y” como variable).

Esta ecuación no se traduce exactamente en un producto de tres paréntesis pelados y mondados, como en el caso anteriormente expuesto en el spoiler, pues el coeficiente de la “y” con mayor potencia (potencia 2) no es 1, es [texx]-3d
 [/texx].

Para simplificarla podemos dividir a los dos lados por [texx]3d
 [/texx]

[texx]0=-\dfrac{d^{2}}{3}+dy-xz-y^{2}+\dfrac{xyz}{d}
 [/texx]

Multiplicamos por -1 a los dos lados

[texx]0=\dfrac{d^{2}}{3}-dy+xz+y^{2}-\dfrac{xyz}{d}
 [/texx]

ya sí queda coeficiente 1 para “y cuadrado”.

Si fuera d=y podemos sustituir y quedarnos sólo con una letra para ver qué puede pasar

[texx]0=\dfrac{y^{2}}{3}-y^2+xz+y^{2}-xz[/texx]

o sea

[texx]0=\dfrac{y^{2}}{3}\Rightarrow y=0
 [/texx]

Luego no sirve, es un caso trivial.

Un cordial saludo.

¡Muchas gracias!
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