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Autor Tema: Prueba el teorema de Weierstrass  (Leído 97 veces)
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« : 18/05/2018, 05:55:16 am »


Teorema de Weierstrass:

"Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en dicho intervalo un máximo y un mínimo absolutos."


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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #1 : 18/05/2018, 08:39:14 am »

Un camino es que si [texx]f [/texx] es continua en [texx] [a,b] [/texx] entonces es acotada en [texx] [a,b] [/texx] si por ejemplo no abarcara el máximo toma:
[texx]F(x) = \dfrac{1}{M-f(x)} [/texx] donde [texx] M = sup\{f(x) | x \in [a,b] \} [/texx] y encontrar un absurdo.

Otro camino lo viste en este hilo y lo razonaste también.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=98244.msg393623#msg393623.
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« Respuesta #2 : 18/05/2018, 09:24:42 am »

Un camino es que si [texx]f [/texx] es continua en [texx] [a,b] [/texx] entonces es acotada en [texx] [a,b] [/texx] si por ejemplo no abarcara el máximo toma:
[texx]F(x) = \dfrac{1}{M-f(x)} [/texx] donde [texx] M = sup\{f(x) | x \in [a,b] \} [/texx] y encontrar un absurdo.

Otro camino lo viste en este hilo y lo razonaste también.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=98244.msg393623#msg393623.

Si. Primero se prueba que está acotada.

Sea    [texx]f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    continua.

Si    [texx]a=b[/texx]   es trivial que    [texx]max(f)=min(f)=f(a)=f(b)[/texx].

Si    [texx]a\neq{b}[/texx]    suponer    [texx]f[/texx]    no acotada y usando el principio de los intervalos encajados repetir hasta el límite:

   • dividir el intervalo    [texx][a,b][/texx]    en dos intervalos    [texx][a,a+b/2][/texx],    [texx][a+b/2,b][/texx]

   • elegir el intervalo en el que    [texx]f[/texx]    no está acotada.

Dicho principio asegura que existe un único número real    [texx]x_0[/texx]    que pertenece a la división infinita.

Ahora, por el principio de acotación local de las funciones continuas, ha de existir un entorno    [texx][x_0-\delta,x_0+\delta][/texx]    en el cual la función    [texx]f[/texx]    debe estar acotada, esto prueba que    [texx]f[/texx]    está acotada en    [texx][a,b][/texx],    esto es, existe    [texx]\cancel{M=\sup\Big\{f\big([x_0-\delta,x_0+\delta]\big)\Big\}}[/texx],    [texx]M=\sup\bigg\{\Big|f\big([a,b]\big)\Big|\bigg\}[/texx],    [texx]M>0[/texx].        [texx]\cancel{\delta>0}[/texx]. 


Suponer que la función no alcanza     [texx]M[/texx]    y definir la función

[texx]\color{red}g:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx]    dada por    [texx]\color{red}g(x)=\color{black}\displaystyle\frac{1}{M-f(x)}[/texx].

Por lo que se acaba de probar, esta función es acotada en    [texx]\cancel{[x_0-\delta,x_0+\delta]}\color{red}[a,b][/texx]    y además es continua siempre que    [texx]\forall\,{x\in{\cancel{[x_0-\delta,x_0+\delta]}\color{red}[a,b]}}\color{black}.\;f(x)\neq{M}[/texx], así que existe    [texx]K\in{\mathbb{R^+}}[/texx]    tal que

[texx]\left|\displaystyle\frac{1}{M-f(x)}\right|<{K}[/texx],       [texx]\forall{\,x\in{\cancel{[x_0-\delta,x_0+\delta]}}}\color{red}[a,b][/texx]

de donde

[texx]-K<\displaystyle\frac{1}{M-f(x)}<K[/texx],

[texx]-K(M-f(x))<1<K(M-f(x))[/texx],

[texx]f(x)-M<\displaystyle\frac{1}{K}<M-f(x)[/texx],

[texx]f(x)-2M<\displaystyle\frac{1}{K}-M<-f(x)[/texx],

[texx]f(x)<M-\displaystyle\frac{1}{K}<M[/texx],      [texx]\forall{x\in{\cancel{[x_0-\delta,x_0+\delta]}}}\color{red}[a,b][/texx]

lo que contradice    [texx]M=\sup\bigg\{\color{red}\Big|\color{black}f\big(\cancel{[x_0-\delta,x_0+\delta]}\color{red}[a,b]\color{black}\big)\color{red}\Big|\color{black}\bigg\}[/texx],    contradicción a la que se llega por haber supuesto que    [texx]f[/texx]    no alcanza    [texx]M[/texx],    sólo puede ser entonces que    [texx]f[/texx]    alcance    [texx]M[/texx].


Saludos gracias.

CORREGIDO. Muchas gracias Juan Pablo Sancho.
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« Respuesta #3 : 18/05/2018, 12:13:50 pm »

Dos cosas:
Editado el caso base me confundió.
Si [texx]M[/texx] es el supremo de una función continua no tiene por que ser positivo toma:
[texx]f(x) = -x^2 - 100 [/texx] en [texx] [-1,2] [/texx] entonces [texx]M = -100 < 0[/texx]

Sobre el último punto deberías probar que es máximo en todo el intervalo no sólo en un entorno de [texx]x_0 [/texx].

La función [texx]g(x) = \dfrac{1}{M-f(x)} [/texx] es continua y acotada en todo [texx][a,b] [/texx].
El error se tiene al suponer que no existe [texx]\alpha \in [a,b] [/texx] con [texx]f(\alpha) = M [/texx], por eso podemos construir [texx]g[/texx]
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Saludos.
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« Respuesta #4 : 18/05/2018, 01:08:44 pm »

Dos cosas:
Editado el caso base me confundió.
Si [texx]M[/texx] es el supremo de una función continua no tiene por que ser positivo toma:
[texx]f(x) = -x^2 - 100 [/texx] en [texx] [-1,2] [/texx] entonces [texx]M = -100 < 0[/texx]

Sobre el último punto deberías probar que es máximo en todo el intervalo no sólo en un entorno de [texx]x_0 [/texx].

La función [texx]g(x) = \dfrac{1}{M-f(x)} [/texx] es continua y acotada en todo [texx][a,b] [/texx].
El error se tiene al suponer que no existe [texx]\alpha \in [a,b] [/texx] con [texx]f(\alpha) = M [/texx], por eso podemos construir [texx]g[/texx]
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.

Si gracias, ya está corregido y creo que entendido.

Un saludo.
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