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Autor Tema: Problema con geometría  (Leído 280 veces)
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Danielmontecel
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« : 17/05/2018, 11:31:01 pm »

Dado el triángulo de la figura, la medida en radianes del ángulo [texx]\alpha[/texx] es:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

a) [texx]\displaystyle\frac{π}{3}[/texx]     b) [texx]\displaystyle\frac{π}{4}
[/texx]     c) [texx]\displaystyle\frac{π}{6}[/texx]     d) [texx] \displaystyle\frac{π}{8}
[/texx]     e) [texx]\displaystyle\frac{π}{12}[/texx]

Se supone que esto será resuelto en un examen sin calculadora, pero me sé las funciones de los ángulos notables; solo que no hay lo manera de resolverlo así. :BangHead:

* PROBLEMA_DE_MATEMATICA_6.PNG (11.08 KB - descargado 88 veces.)
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delmar
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« Respuesta #1 : 18/05/2018, 12:23:09 am »

Hola

Trazando  la altura correspondiente a la base del triángulo, la altura biseca al ángulo  [texx]\alpha[/texx] y se tiene la relación [texx]\sqrt[ ]{32-16\sqrt[ ]{3}}=2(4)sen(\alpha/2)\Rightarrow{sen(\alpha/2)=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{32-16\sqrt[ ]{3}}{64}}}\Rightarrow{sen(\alpha/2)=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1-\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}}{2}}}[/texx] Ec. 1

Se sabe que [texx]cos(\alpha)=cos^2(\alpha/2)-sen^2(\alpha/2)\Rightarrow{cos(\alpha)=1-2sen^2(\alpha/2)}\Rightarrow{sen(\alpha/2)=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1-cos(\alpha)}{2}}}[/texx] Ec. 2

Igualando las Ec. 1 y 2 se despeja el [texx]cos(\alpha)=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}\Rightarrow{\alpha=arcos(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2})}[/texx], la respuesta es una de las claves.

Saludos
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Danielmontecel
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« Respuesta #2 : 18/05/2018, 07:25:59 pm »

Se sabe que [texx]cos(\alpha)=cos^2(\alpha/2)-sen^2(\alpha/2)
[/texx]

Disculpa mi ignorancia, ¿de dónde obtienes esa afirmación? o es algún principio de identidades trigonométricas?
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delmar
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« Respuesta #3 : 18/05/2018, 07:49:05 pm »

Es una de las identidades trigonométricas básicas, el coseno de la suma de dos ángulos dice así :

[texx]cos(A+B)=cos(A) \ cos(B)-sen(A) \ sen(B)[/texx], para aplicarla en este caso se ha de tener en cuenta,  [texx]\alpha=\alpha/2 \ + \ \alpha/2[/texx], entonces :

[texx]cos(\alpha)=cos(\alpha/2 \ + \ \alpha/2)=cos(\alpha/2) \ cos(\alpha/2)- sen(\alpha/2) \ sen(\alpha/2)=cos^2(\alpha/2)- sen^2(\alpha/2)[/texx], en consecuencia :

[texx]cos(\alpha)=cos^2(\alpha/2)- sen^2(\alpha/2)[/texx]

Saludos
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